Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13728 / 22944
↖ ↑ ↗
← S 58.263287°
W 29.179687°		 ← 642.60 m → S 58.263287°
W 29.168701°		 →
↑
642.58 m
↓
↑
642.58 m
↓
S 58.269066°
W 29.179687°		 ← 642.50 m →
412 889 m²		 S 58.269066°
W 29.168701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418960571289062 y=0.700210571289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418960571289062 × 215)
    floor (0.418960571289062 × 32768)
    floor (13728.5)     		tx = 13728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700210571289062 × 215)
    floor (0.700210571289062 × 32768)
    floor (22944.5)     		ty = 22944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13728 / 22944 ti = "15/13728/22944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13728/22944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13728 ÷ 215
    13728 ÷ 32768     		x = 0.4189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22944 ÷ 215
    22944 ÷ 32768     		y = 0.7001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4189453125 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50928162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7001953125 × 2 - 1) × π
    -0.400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.25786424603027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50928162} λ = -0.50928162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.25786424603027))-π/2
    2×atan(0.284260489109831)-π/2
    2×0.276955067356672-π/2
    0.553910134713345-1.57079632675     		φ = -1.01688619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50928162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.179687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01688619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.263287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13728 KachelY 22944 -0.50928162 -1.01688619 -29.179687 -58.263287
    Oben rechts KachelX + 1 13729 KachelY 22944 -0.50908987 -1.01688619 -29.168701 -58.263287
    Unten links KachelX 13728 KachelY + 1 22945 -0.50928162 -1.01698705 -29.179687 -58.269066
    Unten rechts KachelX + 1 13729 KachelY + 1 22945 -0.50908987 -1.01698705 -29.168701 -58.269066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01688619--1.01698705) × R
    0.000100860000000091 × 6371000     		dl = 642.579060000583m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01688619--1.01698705) × R
    0.000100860000000091 × 6371000     		dr = 642.579060000583m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50928162--0.50908987) × cos(-1.01688619) × R
    0.000191749999999935 × 0.526016712216751 × 6371000     		do = 642.60266179972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50928162--0.50908987) × cos(-1.01698705) × R
    0.000191749999999935 × 0.525930930710391 × 6371000     		du = 642.497867744626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01688619)-sin(-1.01698705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526016712216751-0.525930930710391)×R²
    abs(-0.50908987--0.50928162)×8.57815063606271e-05×R²
    0.000191749999999935×8.57815063606271e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.57815063606271e-05×40589641000000     		ar = 412889.345490084m²