Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13728 / 15456
↖ ↑ ↗
← S 82.940327°
E121.640625°		 ← 300.29 m → S 82.940327°
E121.662598°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
S 82.943027°
E121.640625°		 ← 300.17 m →
90 129 m²		 S 82.943027°
E121.662598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.837921142578125 y=0.943389892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.837921142578125 × 214)
    floor (0.837921142578125 × 16384)
    floor (13728.5)     		tx = 13728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.943389892578125 × 214)
    floor (0.943389892578125 × 16384)
    floor (15456.5)     		ty = 15456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13728 / 15456 ti = "14/13728/15456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13728/15456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13728 ÷ 214
    13728 ÷ 16384     		x = 0.837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15456 ÷ 214
    15456 ÷ 16384     		y = 0.943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.837890625 × 2 - 1) × π
    0.67578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12302941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.943359375 × 2 - 1) × π
    -0.88671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7857091107207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12302941} λ = 2.12302941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7857091107207))-π/2
    2×atan(0.0616853317883462)-π/2
    2×0.0616072707175025-π/2
    0.123214541435005-1.57079632675     		φ = -1.44758179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12302941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44758179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.940327°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13728 KachelY 15456 2.12302941 -1.44758179 121.640625 -82.940327
    Oben rechts KachelX + 1 13729 KachelY 15456 2.12341291 -1.44758179 121.662598 -82.940327
    Unten links KachelX 13728 KachelY + 1 15457 2.12302941 -1.44762891 121.640625 -82.943027
    Unten rechts KachelX + 1 13729 KachelY + 1 15457 2.12341291 -1.44762891 121.662598 -82.943027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44758179--1.44762891) × R
    4.71199999998451e-05 × 6371000     		dl = 300.201519999013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44758179--1.44762891) × R
    4.71199999998451e-05 × 6371000     		dr = 300.201519999013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12302941-2.12341291) × cos(-1.44758179) × R
    0.00038349999999987 × 0.122903003175518 × 6371000     		do = 300.286265244073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12302941-2.12341291) × cos(-1.44762891) × R
    0.00038349999999987 × 0.122856240270528 × 6371000     		du = 300.172010443713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44758179)-sin(-1.44762891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122903003175518-0.122856240270528)×R²
    abs(2.12341291-2.12302941)×4.67629049901025e-05×R²
    0.00038349999999987×4.67629049901025e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.67629049901025e-05×40589641000000     		ar = 90129.2435460165m²