Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13699 / 15237
↖ ↑ ↗
← S 82.323582°
E121.003418°		 ← 326.36 m → S 82.323582°
E121.025390°		 →
↑
326.32 m
↓
↑
326.32 m
↓
S 82.326516°
E121.003418°		 ← 326.24 m →
106 479 m²		 S 82.326516°
E121.025390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836151123046875 y=0.930023193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836151123046875 × 214)
    floor (0.836151123046875 × 16384)
    floor (13699.5)     		tx = 13699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930023193359375 × 214)
    floor (0.930023193359375 × 16384)
    floor (15237.5)     		ty = 15237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13699 / 15237 ti = "14/13699/15237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13699/15237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13699 ÷ 214
    13699 ÷ 16384     		x = 0.83612060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15237 ÷ 214
    15237 ÷ 16384     		y = 0.92999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83612060546875 × 2 - 1) × π
    0.6722412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.11190805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.8599853515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70172366258636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11190805} λ = 2.11190805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70172366258636))-π/2
    2×atan(0.0670897728887237)-π/2
    2×0.0669893859926662-π/2
    0.133978771985332-1.57079632675     		φ = -1.43681755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11190805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.003418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43681755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.323582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13699 KachelY 15237 2.11190805 -1.43681755 121.003418 -82.323582
    Oben rechts KachelX + 1 13700 KachelY 15237 2.11229154 -1.43681755 121.025390 -82.323582
    Unten links KachelX 13699 KachelY + 1 15238 2.11190805 -1.43686877 121.003418 -82.326516
    Unten rechts KachelX + 1 13700 KachelY + 1 15238 2.11229154 -1.43686877 121.025390 -82.326516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43681755--1.43686877) × R
    5.12200000000185e-05 × 6371000     		dl = 326.322620000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43681755--1.43686877) × R
    5.12200000000185e-05 × 6371000     		dr = 326.322620000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11190805-2.11229154) × cos(-1.43681755) × R
    0.000383490000000375 × 0.133578309567946 × 6371000     		do = 326.360501559923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11190805-2.11229154) × cos(-1.43686877) × R
    0.000383490000000375 × 0.133527548413007 × 6371000     		du = 326.23648115542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43681755)-sin(-1.43686877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133578309567946-0.133527548413007)×R²
    abs(2.11229154-2.11190805)×5.0761154938378e-05×R²
    0.000383490000000375×5.0761154938378e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.0761154938378e-05×40589641000000     		ar = 106478.578625402m²