Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13698 / 15490
↖ ↑ ↗
← S 83.031552°
E120.981445°		 ← 296.43 m → S 83.031552°
E121.003418°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
S 83.034218°
E120.981445°		 ← 296.31 m →
87 837 m²		 S 83.034218°
E121.003418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.836090087890625 y=0.945465087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.836090087890625 × 214)
    floor (0.836090087890625 × 16384)
    floor (13698.5)     		tx = 13698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.945465087890625 × 214)
    floor (0.945465087890625 × 16384)
    floor (15490.5)     		ty = 15490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13698 / 15490 ti = "14/13698/15490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13698/15490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13698 ÷ 214
    13698 ÷ 16384     		x = 0.8360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15490 ÷ 214
    15490 ÷ 16384     		y = 0.9454345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8360595703125 × 2 - 1) × π
    0.672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.11152455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9454345703125 × 2 - 1) × π
    -0.890869140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.79874794741736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11152455} λ = 2.11152455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79874794741736))-π/2
    2×atan(0.0608862477050889)-π/2
    2×0.0608111767634865-π/2
    0.121622353526973-1.57079632675     		φ = -1.44917397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11152455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.981445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44917397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.031552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13698 KachelY 15490 2.11152455 -1.44917397 120.981445 -83.031552
    Oben rechts KachelX + 1 13699 KachelY 15490 2.11190805 -1.44917397 121.003418 -83.031552
    Unten links KachelX 13698 KachelY + 1 15491 2.11152455 -1.44922049 120.981445 -83.034218
    Unten rechts KachelX + 1 13699 KachelY + 1 15491 2.11190805 -1.44922049 121.003418 -83.034218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44917397--1.44922049) × R
    4.65200000001609e-05 × 6371000     		dl = 296.378920001025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44917397--1.44922049) × R
    4.65200000001609e-05 × 6371000     		dr = 296.378920001025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11152455-2.11190805) × cos(-1.44917397) × R
    0.00038349999999987 × 0.121322738875044 × 6371000     		do = 296.425239454408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11152455-2.11190805) × cos(-1.44922049) × R
    0.00038349999999987 × 0.121276562381744 × 6371000     		du = 296.312417421122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44917397)-sin(-1.44922049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.121322738875044-0.121276562381744)×R²
    abs(2.11190805-2.11152455)×4.61764933000069e-05×R²
    0.00038349999999987×4.61764933000069e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.61764933000069e-05×40589641000000     		ar = 87837.4733098045m²