Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13696 / 15232
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E120.937500°		 ← 326.99 m → S 82.308893°
E120.959473°		 →
↑
326.90 m
↓
↑
326.90 m
↓
S 82.311832°
E120.937500°		 ← 326.87 m →
106 871 m²		 S 82.311832°
E120.959473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835968017578125 y=0.929718017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835968017578125 × 214)
    floor (0.835968017578125 × 16384)
    floor (13696.5)     		tx = 13696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929718017578125 × 214)
    floor (0.929718017578125 × 16384)
    floor (15232.5)     		ty = 15232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13696 / 15232 ti = "14/13696/15232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13696/15232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13696 ÷ 214
    13696 ÷ 16384     		x = 0.8359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15232 ÷ 214
    15232 ÷ 16384     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8359375 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11075756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11075756} λ = 2.11075756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11075756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13696 KachelY 15232 2.11075756 -1.43656118 120.937500 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 13697 KachelY 15232 2.11114106 -1.43656118 120.959473 -82.308893
    Unten links KachelX 13696 KachelY + 1 15233 2.11075756 -1.43661249 120.937500 -82.311832
    Unten rechts KachelX + 1 13697 KachelY + 1 15233 2.11114106 -1.43661249 120.959473 -82.311832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43661249) × R
    5.13099999999156e-05 × 6371000     		dl = 326.896009999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43661249) × R
    5.13099999999156e-05 × 6371000     		dr = 326.896009999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11075756-2.11114106) × cos(-1.43656118) × R
    0.00038349999999987 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 326.989770926856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11075756-2.11114106) × cos(-1.43661249) × R
    0.00038349999999987 × 0.133781529063911 × 6371000     		du = 326.865533658868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43661249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.133781529063911)×R²
    abs(2.11114106-2.11075756)×5.08485905262313e-05×R²
    0.00038349999999987×5.08485905262313e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.08485905262313e-05×40589641000000     		ar = 106871.345114892m²