Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13695 / 15233
↖ ↑ ↗
← S 82.311832°
E120.915527°		 ← 326.86 m → S 82.311832°
E120.937500°		 →
↑
326.83 m
↓
↑
326.83 m
↓
S 82.314772°
E120.915527°		 ← 326.73 m →
106 807 m²		 S 82.314772°
E120.937500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.835906982421875 y=0.929779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.835906982421875 × 214)
    floor (0.835906982421875 × 16384)
    floor (13695.5)     		tx = 13695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929779052734375 × 214)
    floor (0.929779052734375 × 16384)
    floor (15233.5)     		ty = 15233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13695 / 15233 ti = "14/13695/15233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13695/15233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13695 ÷ 214
    13695 ÷ 16384     		x = 0.83587646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15233 ÷ 214
    15233 ÷ 16384     		y = 0.92974853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.83587646484375 × 2 - 1) × π
    0.6717529296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.11037407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92974853515625 × 2 - 1) × π
    -0.8594970703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70018968179852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.11037407} λ = 2.11037407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70018968179852))-π/2
    2×atan(0.067192766286146)-π/2
    2×0.0670919171845049-π/2
    0.13418383436901-1.57079632675     		φ = -1.43661249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.11037407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 120.915527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43661249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.311832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13695 KachelY 15233 2.11037407 -1.43661249 120.915527 -82.311832
    Oben rechts KachelX + 1 13696 KachelY 15233 2.11075756 -1.43661249 120.937500 -82.311832
    Unten links KachelX 13695 KachelY + 1 15234 2.11037407 -1.43666379 120.915527 -82.314772
    Unten rechts KachelX + 1 13696 KachelY + 1 15234 2.11075756 -1.43666379 120.937500 -82.314772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43661249--1.43666379) × R
    5.13000000001984e-05 × 6371000     		dl = 326.832300001264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43661249--1.43666379) × R
    5.13000000001984e-05 × 6371000     		dr = 326.832300001264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.11037407-2.11075756) × cos(-1.43661249) × R
    0.000383489999999931 × 0.133781529063911 × 6371000     		do = 326.857010437704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.11037407-2.11075756) × cos(-1.43666379) × R
    0.000383489999999931 × 0.133730690031353 × 6371000     		du = 326.732799761448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43661249)-sin(-1.43666379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133781529063911-0.133730690031353)×R²
    abs(2.11075756-2.11037407)×5.08390325581753e-05×R²
    0.000383489999999931×5.08390325581753e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.08390325581753e-05×40589641000000     		ar = 106807.13048612m²