Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1356 / 709
↖ ↑ ↗
← N 48.341646°
E 58.359375°		 ← 12.992 km → N 48.341646°
E 58.535156°		 →
↑
13.007 km
↓
↑
13.007 km
↓
N 48.224673°
E 58.359375°		 ← 13.022 km →
169.178 km²		 N 48.224673°
E 58.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.662353515625 y=0.346435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.662353515625 × 211)
    floor (0.662353515625 × 2048)
    floor (1356.5)     		tx = 1356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346435546875 × 211)
    floor (0.346435546875 × 2048)
    floor (709.5)     		ty = 709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1356 / 709 ti = "11/1356/709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1356/709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1356 ÷ 211
    1356 ÷ 2048     		x = 0.662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 709 ÷ 211
    709 ÷ 2048     		y = 0.34619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.662109375 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.01856324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34619140625 × 2 - 1) × π
    0.3076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.966407896340332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.01856324} λ = 1.01856324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.966407896340332))-π/2
    2×atan(2.62848568802197)-π/2
    2×1.20725860915929-π/2
    2.41451721831859-1.57079632675     		φ = 0.84372089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.01856324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 58.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84372089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.341646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1356 KachelY 709 1.01856324 0.84372089 58.359375 48.341646
    Oben rechts KachelX + 1 1357 KachelY 709 1.02163120 0.84372089 58.535156 48.341646
    Unten links KachelX 1356 KachelY + 1 710 1.01856324 0.84167932 58.359375 48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 1357 KachelY + 1 710 1.02163120 0.84167932 58.535156 48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84372089-0.84167932) × R
    0.00204156999999994 × 6371000     		dl = 13006.8424699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84372089-0.84167932) × R
    0.00204156999999994 × 6371000     		dr = 13006.8424699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.01856324-1.02163120) × cos(0.84372089) × R
    0.00306796000000009 × 0.664687476582563 × 6371000     		do = 12991.9635770713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.01856324-1.02163120) × cos(0.84167932) × R
    0.00306796000000009 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 13021.7499709666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84372089)-sin(0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664687476582563-0.666211391183872)×R²
    abs(1.02163120-1.01856324)×0.00152391460130841×R²
    0.00306796000000009×0.00152391460130841×6371000²
    0.00306796000000009×0.00152391460130841×40589641000000     		ar = 169178195.850857m²