Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13504 / 16192
↖ ↑ ↗
← S 84.673512°
E116.718750°		 ← 226.81 m → S 84.673512°
E116.740723°		 →
↑
226.81 m
↓
↑
226.81 m
↓
S 84.675552°
E116.718750°		 ← 226.72 m →
51 431 m²		 S 84.675552°
E116.740723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.824249267578125 y=0.988311767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.824249267578125 × 214)
    floor (0.824249267578125 × 16384)
    floor (13504.5)     		tx = 13504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.988311767578125 × 214)
    floor (0.988311767578125 × 16384)
    floor (16192.5)     		ty = 16192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13504 / 16192 ti = "14/13504/16192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13504/16192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13504 ÷ 214
    13504 ÷ 16384     		x = 0.82421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16192 ÷ 214
    16192 ÷ 16384     		y = 0.98828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82421875 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03712649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.98828125 × 2 - 1) × π
    -0.9765625 × 3.1415926535     		Φ = -3.06796157568359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03712649} λ = 2.03712649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-3.06796157568359))-π/2
    2×atan(0.0465158773778337)-π/2
    2×0.0464823716478539-π/2
    0.0929647432957078-1.57079632675     		φ = -1.47783158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03712649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.47783158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -84.673512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13504 KachelY 16192 2.03712649 -1.47783158 116.718750 -84.673512
    Oben rechts KachelX + 1 13505 KachelY 16192 2.03750998 -1.47783158 116.740723 -84.673512
    Unten links KachelX 13504 KachelY + 1 16193 2.03712649 -1.47786718 116.718750 -84.675552
    Unten rechts KachelX + 1 13505 KachelY + 1 16193 2.03750998 -1.47786718 116.740723 -84.675552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.47783158--1.47786718) × R
    3.56000000001355e-05 × 6371000     		dl = 226.807600000863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.47783158--1.47786718) × R
    3.56000000001355e-05 × 6371000     		dr = 226.807600000863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03712649-2.03750998) × cos(-1.47783158) × R
    0.000383489999999931 × 0.0928308975419283 × 6371000     		do = 226.805821843373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03712649-2.03750998) × cos(-1.47786718) × R
    0.000383489999999931 × 0.0927954512078554 × 6371000     		du = 226.719218835715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.47783158)-sin(-1.47786718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0928308975419283-0.0927954512078554)×R²
    abs(2.03750998-2.03712649)×3.54463340729166e-05×R²
    0.000383489999999931×3.54463340729166e-05×6371000²
    0.000383489999999931×3.54463340729166e-05×40589641000000     		ar = 51431.4630148609m²