Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1350 / 742
↖ ↑ ↗
← N 44.339565°
E 57.304687°		 ← 13.980 km → N 44.339565°
E 57.480469°		 →
↑
13.994 km
↓
↑
13.994 km
↓
N 44.213710°
E 57.304687°		 ← 14.010 km →
195.846 km²		 N 44.213710°
E 57.480469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.659423828125 y=0.362548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.659423828125 × 211)
    floor (0.659423828125 × 2048)
    floor (1350.5)     		tx = 1350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.362548828125 × 211)
    floor (0.362548828125 × 2048)
    floor (742.5)     		ty = 742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1350 / 742 ti = "11/1350/742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1350/742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1350 ÷ 211
    1350 ÷ 2048     		x = 0.6591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 742 ÷ 211
    742 ÷ 2048     		y = 0.3623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6591796875 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00015547} λ = 1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865165164342773))-π/2
    2×atan(2.37539838469237)-π/2
    2×1.17233386462968-π/2
    2.34466772925936-1.57079632675     		φ = 0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1350 KachelY 742 1.00015547 0.77387140 57.304687 44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 1351 KachelY 742 1.00322344 0.77387140 57.480469 44.339565
    Unten links KachelX 1350 KachelY + 1 743 1.00015547 0.77167481 57.304687 44.213710
    Unten rechts KachelX + 1 1351 KachelY + 1 743 1.00322344 0.77167481 57.480469 44.213710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77387140-0.77167481) × R
    0.00219658999999994 × 6371000     		dl = 13994.4748899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77387140-0.77167481) × R
    0.00219658999999994 × 6371000     		dr = 13994.4748899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00015547-1.00322344) × cos(0.77387140) × R
    0.00306797000000003 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 13979.5264725505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00015547-1.00322344) × cos(0.77167481) × R
    0.00306797000000003 × 0.716743769031627 × 6371000     		du = 14009.5001358351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77387140)-sin(0.77167481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.716743769031627)×R²
    abs(1.00322344-1.00015547)×0.00153349057325181×R²
    0.00306797000000003×0.00153349057325181×6371000²
    0.00306797000000003×0.00153349057325181×40589641000000     		ar = 195845943.779804m²