Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13487 / 15281
↖ ↑ ↗
← S 82.451651°
E116.345215°		 ← 320.95 m → S 82.451651°
E116.367187°		 →
↑
320.91 m
↓
↑
320.91 m
↓
S 82.454537°
E116.345215°		 ← 320.83 m →
102 975 m²		 S 82.454537°
E116.367187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.823211669921875 y=0.932708740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.823211669921875 × 214)
    floor (0.823211669921875 × 16384)
    floor (13487.5)     		tx = 13487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932708740234375 × 214)
    floor (0.932708740234375 × 16384)
    floor (15281.5)     		ty = 15281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13487 / 15281 ti = "14/13487/15281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13487/15281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13487 ÷ 214
    13487 ÷ 16384     		x = 0.82318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15281 ÷ 214
    15281 ÷ 16384     		y = 0.93267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82318115234375 × 2 - 1) × π
    0.6463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.03060707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.8653564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.71859745125262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03060707} λ = 2.03060707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71859745125262))-π/2
    2×atan(0.0659672118035402)-π/2
    2×0.0658717716289836-π/2
    0.131743543257967-1.57079632675     		φ = -1.43905278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03060707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43905278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.451651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13487 KachelY 15281 2.03060707 -1.43905278 116.345215 -82.451651
    Oben rechts KachelX + 1 13488 KachelY 15281 2.03099056 -1.43905278 116.367187 -82.451651
    Unten links KachelX 13487 KachelY + 1 15282 2.03060707 -1.43910315 116.345215 -82.454537
    Unten rechts KachelX + 1 13488 KachelY + 1 15282 2.03099056 -1.43910315 116.367187 -82.454537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43905278--1.43910315) × R
    5.03700000000773e-05 × 6371000     		dl = 320.907270000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43905278--1.43910315) × R
    5.03700000000773e-05 × 6371000     		dr = 320.907270000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03060707-2.03099056) × cos(-1.43905278) × R
    0.000383489999999931 × 0.131362779264535 × 6371000     		do = 320.94748515456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03060707-2.03099056) × cos(-1.43910315) × R
    0.000383489999999931 × 0.131312845586025 × 6371000     		du = 320.825486452705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43905278)-sin(-1.43910315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131362779264535-0.131312845586025)×R²
    abs(2.03099056-2.03060707)×4.99336785103333e-05×R²
    0.000383489999999931×4.99336785103333e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.99336785103333e-05×40589641000000     		ar = 102974.806161763m²