Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1348 / 739
↖ ↑ ↗
← N 44.715514°
E 56.953125°		 ← 13.890 km → N 44.715514°
E 57.128906°		 →
↑
13.905 km
↓
↑
13.905 km
↓
N 44.590467°
E 56.953125°		 ← 13.920 km →
193.336 km²		 N 44.590467°
E 57.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658447265625 y=0.361083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658447265625 × 211)
    floor (0.658447265625 × 2048)
    floor (1348.5)     		tx = 1348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.361083984375 × 211)
    floor (0.361083984375 × 2048)
    floor (739.5)     		ty = 739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1348 / 739 ti = "11/1348/739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1348/739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1348 ÷ 211
    1348 ÷ 2048     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 739 ÷ 211
    739 ÷ 2048     		y = 0.36083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    0.2783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.874369049069824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.874369049069824))-π/2
    2×atan(2.3973621987636)-π/2
    2×1.17561463406082-π/2
    2.35122926812165-1.57079632675     		φ = 0.78043294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78043294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.715514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1348 KachelY 739 0.99401955 0.78043294 56.953125 44.715514
    Oben rechts KachelX + 1 1349 KachelY 739 0.99708751 0.78043294 57.128906 44.715514
    Unten links KachelX 1348 KachelY + 1 740 0.99401955 0.77825047 56.953125 44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 1349 KachelY + 1 740 0.99708751 0.77825047 57.128906 44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78043294-0.77825047) × R
    0.00218246999999994 × 6371000     		dl = 13904.5163699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78043294-0.77825047) × R
    0.00218246999999994 × 6371000     		dr = 13904.5163699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99708751) × cos(0.78043294) × R
    0.00306795999999998 × 0.710608993604276 × 6371000     		do = 13889.5443162437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99708751) × cos(0.77825047) × R
    0.00306795999999998 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 13919.5251851416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78043294)-sin(0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710608993604276-0.712142857825438)×R²
    abs(0.99708751-0.99401955)×0.00153386422116208×R²
    0.00306795999999998×0.00153386422116208×6371000²
    0.00306795999999998×0.00153386422116208×40589641000000     		ar = 193335907.799307m²