Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13464 / 15256
↖ ↑ ↗
← S 82.379148°
E115.839844°		 ← 324.01 m → S 82.379148°
E115.861816°		 →
↑
323.90 m
↓
↑
323.90 m
↓
S 82.382060°
E115.839844°		 ← 323.89 m →
104 928 m²		 S 82.382060°
E115.861816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821807861328125 y=0.931182861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821807861328125 × 214)
    floor (0.821807861328125 × 16384)
    floor (13464.5)     		tx = 13464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931182861328125 × 214)
    floor (0.931182861328125 × 16384)
    floor (15256.5)     		ty = 15256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13464 / 15256 ti = "14/13464/15256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13464/15256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13464 ÷ 214
    13464 ÷ 16384     		x = 0.82177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15256 ÷ 214
    15256 ÷ 16384     		y = 0.93115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82177734375 × 2 - 1) × π
    0.6435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.02178668
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93115234375 × 2 - 1) × π
    -0.8623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70901007132861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.02178668} λ = 2.02178668}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70901007132861))-π/2
    2×atan(0.0666027060201108)-π/2
    2×0.0665044858707405-π/2
    0.133008971741481-1.57079632675     		φ = -1.43778736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.02178668} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43778736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.379148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13464 KachelY 15256 2.02178668 -1.43778736 115.839844 -82.379148
    Oben rechts KachelX + 1 13465 KachelY 15256 2.02217017 -1.43778736 115.861816 -82.379148
    Unten links KachelX 13464 KachelY + 1 15257 2.02178668 -1.43783820 115.839844 -82.382060
    Unten rechts KachelX + 1 13465 KachelY + 1 15257 2.02217017 -1.43783820 115.861816 -82.382060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43778736--1.43783820) × R
    5.08400000001075e-05 × 6371000     		dl = 323.901640000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43778736--1.43783820) × R
    5.08400000001075e-05 × 6371000     		dr = 323.901640000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.02178668-2.02217017) × cos(-1.43778736) × R
    0.000383489999999931 × 0.132617128085192 × 6371000     		do = 324.012128745008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.02178668-2.02217017) × cos(-1.43783820) × R
    0.000383489999999931 × 0.132566736966223 × 6371000     		du = 323.889012417857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43778736)-sin(-1.43783820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132617128085192-0.132566736966223)×R²
    abs(2.02217017-2.02178668)×5.03911189694561e-05×R²
    0.000383489999999931×5.03911189694561e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.03911189694561e-05×40589641000000     		ar = 104928.12111375m²