Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13457 / 15248
↖ ↑ ↗
← S 82.355800°
E115.686035°		 ← 325.01 m → S 82.355800°
E115.708008°		 →
↑
324.92 m
↓
↑
324.92 m
↓
S 82.358722°
E115.686035°		 ← 324.88 m →
105 582 m²		 S 82.358722°
E115.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821380615234375 y=0.930694580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821380615234375 × 214)
    floor (0.821380615234375 × 16384)
    floor (13457.5)     		tx = 13457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930694580078125 × 214)
    floor (0.930694580078125 × 16384)
    floor (15248.5)     		ty = 15248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13457 / 15248 ti = "14/13457/15248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13457/15248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13457 ÷ 214
    13457 ÷ 16384     		x = 0.82135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15248 ÷ 214
    15248 ÷ 16384     		y = 0.9306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82135009765625 × 2 - 1) × π
    0.6427001953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01910221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9306640625 × 2 - 1) × π
    -0.861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.70594210975293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01910221} λ = 2.01910221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70594210975293))-π/2
    2×atan(0.0668073543290722)-π/2
    2×0.0667082276176619-π/2
    0.133416455235324-1.57079632675     		φ = -1.43737987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01910221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.686035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43737987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.355800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13457 KachelY 15248 2.01910221 -1.43737987 115.686035 -82.355800
    Oben rechts KachelX + 1 13458 KachelY 15248 2.01948571 -1.43737987 115.708008 -82.355800
    Unten links KachelX 13457 KachelY + 1 15249 2.01910221 -1.43743087 115.686035 -82.358722
    Unten rechts KachelX + 1 13458 KachelY + 1 15249 2.01948571 -1.43743087 115.708008 -82.358722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43737987--1.43743087) × R
    5.10000000000232e-05 × 6371000     		dl = 324.921000000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43737987--1.43743087) × R
    5.10000000000232e-05 × 6371000     		dr = 324.921000000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01910221-2.01948571) × cos(-1.43737987) × R
    0.000383500000000314 × 0.13302100784328 × 6371000     		do = 325.007368512083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01910221-2.01948571) × cos(-1.43743087) × R
    0.000383500000000314 × 0.132970460896175 × 6371000     		du = 324.883868242981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43737987)-sin(-1.43743087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13302100784328-0.132970460896175)×R²
    abs(2.01948571-2.01910221)×5.05469471048237e-05×R²
    0.000383500000000314×5.05469471048237e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.05469471048237e-05×40589641000000     		ar = 105581.655292288m²