Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13454 / 15250
↖ ↑ ↗
← S 82.361644°
E115.620117°		 ← 324.75 m → S 82.361644°
E115.642090°		 →
↑
324.67 m
↓
↑
324.67 m
↓
S 82.364563°
E115.620117°		 ← 324.63 m →
105 416 m²		 S 82.364563°
E115.642090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.821197509765625 y=0.930816650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.821197509765625 × 214)
    floor (0.821197509765625 × 16384)
    floor (13454.5)     		tx = 13454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930816650390625 × 214)
    floor (0.930816650390625 × 16384)
    floor (15250.5)     		ty = 15250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13454 / 15250 ti = "14/13454/15250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13454/15250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13454 ÷ 214
    13454 ÷ 16384     		x = 0.8211669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15250 ÷ 214
    15250 ÷ 16384     		y = 0.9307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8211669921875 × 2 - 1) × π
    0.642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01795173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70670910014685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01795173} λ = 2.01795173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70670910014685))-π/2
    2×atan(0.0667561333755591)-π/2
    2×0.0666572340851829-π/2
    0.133314468170366-1.57079632675     		φ = -1.43748186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01795173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43748186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.361644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13454 KachelY 15250 2.01795173 -1.43748186 115.620117 -82.361644
    Oben rechts KachelX + 1 13455 KachelY 15250 2.01833522 -1.43748186 115.642090 -82.361644
    Unten links KachelX 13454 KachelY + 1 15251 2.01795173 -1.43753282 115.620117 -82.364563
    Unten rechts KachelX + 1 13455 KachelY + 1 15251 2.01833522 -1.43753282 115.642090 -82.364563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43748186--1.43753282) × R
    5.09600000000443e-05 × 6371000     		dl = 324.666160000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43748186--1.43753282) × R
    5.09600000000443e-05 × 6371000     		dr = 324.666160000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01795173-2.01833522) × cos(-1.43748186) × R
    0.000383489999999931 × 0.132919923514482 × 6371000     		do = 324.751923016192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01795173-2.01833522) × cos(-1.43753282) × R
    0.000383489999999931 × 0.132869415521206 × 6371000     		du = 324.628521140008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43748186)-sin(-1.43753282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.132919923514482-0.132869415521206)×R²
    abs(2.01833522-2.01795173)×5.05079932757169e-05×R²
    0.000383489999999931×5.05079932757169e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.05079932757169e-05×40589641000000     		ar = 105415.927614941m²