Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13448 / 15224
↖ ↑ ↗
← S 82.285331°
E115.488282°		 ← 327.98 m → S 82.285331°
E115.510254°		 →
↑
327.92 m
↓
↑
327.92 m
↓
S 82.288280°
E115.488282°		 ← 327.85 m →
107 528 m²		 S 82.288280°
E115.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820831298828125 y=0.929229736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820831298828125 × 214)
    floor (0.820831298828125 × 16384)
    floor (13448.5)     		tx = 13448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929229736328125 × 214)
    floor (0.929229736328125 × 16384)
    floor (15224.5)     		ty = 15224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13448 / 15224 ti = "14/13448/15224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13448/15224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13448 ÷ 214
    13448 ÷ 16384     		x = 0.82080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15224 ÷ 214
    15224 ÷ 16384     		y = 0.92919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82080078125 × 2 - 1) × π
    0.6416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01565076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92919921875 × 2 - 1) × π
    -0.8583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69673822502588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01565076} λ = 2.01565076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69673822502588))-π/2
    2×atan(0.0674250798939839)-π/2
    2×0.0673231830433996-π/2
    0.134646366086799-1.57079632675     		φ = -1.43614996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01565076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.488282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43614996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.285331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13448 KachelY 15224 2.01565076 -1.43614996 115.488282 -82.285331
    Oben rechts KachelX + 1 13449 KachelY 15224 2.01603425 -1.43614996 115.510254 -82.285331
    Unten links KachelX 13448 KachelY + 1 15225 2.01565076 -1.43620143 115.488282 -82.288280
    Unten rechts KachelX + 1 13449 KachelY + 1 15225 2.01603425 -1.43620143 115.510254 -82.288280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43614996--1.43620143) × R
    5.14699999998314e-05 × 6371000     		dl = 327.915369998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43614996--1.43620143) × R
    5.14699999998314e-05 × 6371000     		dr = 327.915369998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01565076-2.01603425) × cos(-1.43614996) × R
    0.000383489999999931 × 0.134239886985264 × 6371000     		do = 327.976877290267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01565076-2.01603425) × cos(-1.43620143) × R
    0.000383489999999931 × 0.134188882669402 × 6371000     		du = 327.852262791397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43614996)-sin(-1.43620143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134239886985264-0.134188882669402)×R²
    abs(2.01603425-2.01565076)×5.10043158625517e-05×R²
    0.000383489999999931×5.10043158625517e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.10043158625517e-05×40589641000000     		ar = 107528.227585982m²