Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13447 / 15223
↖ ↑ ↗
← S 82.282381°
E115.466309°		 ← 328.11 m → S 82.282381°
E115.488282°		 →
↑
328.04 m
↓
↑
328.04 m
↓
S 82.285331°
E115.466309°		 ← 327.99 m →
107 614 m²		 S 82.285331°
E115.488282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820770263671875 y=0.929168701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820770263671875 × 214)
    floor (0.820770263671875 × 16384)
    floor (13447.5)     		tx = 13447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929168701171875 × 214)
    floor (0.929168701171875 × 16384)
    floor (15223.5)     		ty = 15223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13447 / 15223 ti = "14/13447/15223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13447/15223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13447 ÷ 214
    13447 ÷ 16384     		x = 0.82073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15223 ÷ 214
    15223 ÷ 16384     		y = 0.92913818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82073974609375 × 2 - 1) × π
    0.6414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01526726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92913818359375 × 2 - 1) × π
    -0.8582763671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.69635472982892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01526726} λ = 2.01526726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69635472982892))-π/2
    2×atan(0.0674509420469667)-π/2
    2×0.067348928110767-π/2
    0.134697856221534-1.57079632675     		φ = -1.43609847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01526726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.466309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43609847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.282381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13447 KachelY 15223 2.01526726 -1.43609847 115.466309 -82.282381
    Oben rechts KachelX + 1 13448 KachelY 15223 2.01565076 -1.43609847 115.488282 -82.282381
    Unten links KachelX 13447 KachelY + 1 15224 2.01526726 -1.43614996 115.466309 -82.285331
    Unten rechts KachelX + 1 13448 KachelY + 1 15224 2.01565076 -1.43614996 115.488282 -82.285331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43609847--1.43614996) × R
    5.14900000001539e-05 × 6371000     		dl = 328.042790000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43609847--1.43614996) × R
    5.14900000001539e-05 × 6371000     		dr = 328.042790000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01526726-2.01565076) × cos(-1.43609847) × R
    0.000383500000000314 × 0.134290910764343 × 6371000     		do = 328.110095016206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01526726-2.01565076) × cos(-1.43614996) × R
    0.000383500000000314 × 0.134239886985264 × 6371000     		du = 327.985429713794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43609847)-sin(-1.43614996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134290910764343-0.134239886985264)×R²
    abs(2.01565076-2.01526726)×5.10237790788404e-05×R²
    0.000383500000000314×5.10237790788404e-05×6371000²
    0.000383500000000314×5.10237790788404e-05×40589641000000     		ar = 107613.703243409m²