Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13446 / 15238
↖ ↑ ↗
← S 82.326516°
E115.444336°		 ← 326.24 m → S 82.326516°
E115.466309°		 →
↑
326.20 m
↓
↑
326.20 m
↓
S 82.329450°
E115.444336°		 ← 326.12 m →
106 399 m²		 S 82.329450°
E115.466309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820709228515625 y=0.930084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820709228515625 × 214)
    floor (0.820709228515625 × 16384)
    floor (13446.5)     		tx = 13446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.930084228515625 × 214)
    floor (0.930084228515625 × 16384)
    floor (15238.5)     		ty = 15238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13446 / 15238 ti = "14/13446/15238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13446/15238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13446 ÷ 214
    13446 ÷ 16384     		x = 0.8206787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15238 ÷ 214
    15238 ÷ 16384     		y = 0.9300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8206787109375 × 2 - 1) × π
    0.641357421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.01488376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9300537109375 × 2 - 1) × π
    -0.860107421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.70210715778333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01488376} λ = 2.01488376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70210715778333))-π/2
    2×atan(0.0670640492158234)-π/2
    2×0.0669637775401848-π/2
    0.13392755508037-1.57079632675     		φ = -1.43686877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01488376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43686877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.326516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13446 KachelY 15238 2.01488376 -1.43686877 115.444336 -82.326516
    Oben rechts KachelX + 1 13447 KachelY 15238 2.01526726 -1.43686877 115.466309 -82.326516
    Unten links KachelX 13446 KachelY + 1 15239 2.01488376 -1.43691997 115.444336 -82.329450
    Unten rechts KachelX + 1 13447 KachelY + 1 15239 2.01526726 -1.43691997 115.466309 -82.329450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43686877--1.43691997) × R
    5.1199999999918e-05 × 6371000     		dl = 326.195199999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43686877--1.43691997) × R
    5.1199999999918e-05 × 6371000     		dr = 326.195199999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01488376-2.01526726) × cos(-1.43686877) × R
    0.00038349999999987 × 0.133527548413007 × 6371000     		do = 326.2449881951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01488376-2.01526726) × cos(-1.43691997) × R
    0.00038349999999987 × 0.1334768067288 × 6371000     		du = 326.121012129022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43686877)-sin(-1.43691997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133527548413007-0.1334768067288)×R²
    abs(2.01526726-2.01488376)×5.07416842074615e-05×R²
    0.00038349999999987×5.07416842074615e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.07416842074615e-05×40589641000000     		ar = 106399.32899808m²