Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13443 / 15234
↖ ↑ ↗
← S 82.314772°
E115.378418°		 ← 326.73 m → S 82.314772°
E115.400390°		 →
↑
326.64 m
↓
↑
326.64 m
↓
S 82.317709°
E115.378418°		 ← 326.61 m →
106 704 m²		 S 82.317709°
E115.400390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820526123046875 y=0.929840087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820526123046875 × 214)
    floor (0.820526123046875 × 16384)
    floor (13443.5)     		tx = 13443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929840087890625 × 214)
    floor (0.929840087890625 × 16384)
    floor (15234.5)     		ty = 15234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13443 / 15234 ti = "14/13443/15234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13443/15234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13443 ÷ 214
    13443 ÷ 16384     		x = 0.82049560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15234 ÷ 214
    15234 ÷ 16384     		y = 0.9298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82049560546875 × 2 - 1) × π
    0.6409912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.01373328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.70057317699548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01373328} λ = 2.01373328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70057317699548))-π/2
    2×atan(0.0671670031233451)-π/2
    2×0.0670662697719895-π/2
    0.134132539543979-1.57079632675     		φ = -1.43666379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01373328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43666379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.314772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13443 KachelY 15234 2.01373328 -1.43666379 115.378418 -82.314772
    Oben rechts KachelX + 1 13444 KachelY 15234 2.01411677 -1.43666379 115.400390 -82.314772
    Unten links KachelX 13443 KachelY + 1 15235 2.01373328 -1.43671506 115.378418 -82.317709
    Unten rechts KachelX + 1 13444 KachelY + 1 15235 2.01411677 -1.43671506 115.400390 -82.317709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43666379--1.43671506) × R
    5.12699999999366e-05 × 6371000     		dl = 326.641169999596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43666379--1.43671506) × R
    5.12699999999366e-05 × 6371000     		dr = 326.641169999596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01373328-2.01411677) × cos(-1.43666379) × R
    0.000383489999999931 × 0.133730690031353 × 6371000     		do = 326.732799761448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01373328-2.01411677) × cos(-1.43671506) × R
    0.000383489999999931 × 0.133679880377594 × 6371000     		du = 326.60866086391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43666379)-sin(-1.43671506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133730690031353-0.133679880377594)×R²
    abs(2.01411677-2.01373328)×5.08096537586156e-05×R²
    0.000383489999999931×5.08096537586156e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.08096537586156e-05×40589641000000     		ar = 106704.109578456m²