Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13441 / 15235
↖ ↑ ↗
← S 82.317709°
E115.334473°		 ← 326.61 m → S 82.317709°
E115.356445°		 →
↑
326.58 m
↓
↑
326.58 m
↓
S 82.320646°
E115.334473°		 ← 326.48 m →
106 643 m²		 S 82.320646°
E115.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820404052734375 y=0.929901123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820404052734375 × 214)
    floor (0.820404052734375 × 16384)
    floor (13441.5)     		tx = 13441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.929901123046875 × 214)
    floor (0.929901123046875 × 16384)
    floor (15235.5)     		ty = 15235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13441 / 15235 ti = "14/13441/15235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13441/15235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13441 ÷ 214
    13441 ÷ 16384     		x = 0.82037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15235 ÷ 214
    15235 ÷ 16384     		y = 0.92987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82037353515625 × 2 - 1) × π
    0.6407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.01296629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.92987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.8597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.70095667219244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01296629} λ = 2.01296629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.70095667219244))-π/2
    2×atan(0.0671412498386992)-π/2
    2×0.0670406321049348-π/2
    0.13408126420987-1.57079632675     		φ = -1.43671506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01296629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43671506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.317709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13441 KachelY 15235 2.01296629 -1.43671506 115.334473 -82.317709
    Oben rechts KachelX + 1 13442 KachelY 15235 2.01334978 -1.43671506 115.356445 -82.317709
    Unten links KachelX 13441 KachelY + 1 15236 2.01296629 -1.43676632 115.334473 -82.320646
    Unten rechts KachelX + 1 13442 KachelY + 1 15236 2.01334978 -1.43676632 115.356445 -82.320646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43671506--1.43676632) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dl = 326.577459999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43671506--1.43676632) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dr = 326.577459999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01296629-2.01334978) × cos(-1.43671506) × R
    0.000383489999999931 × 0.133679880377594 × 6371000     		do = 326.60866086391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01296629-2.01334978) × cos(-1.43676632) × R
    0.000383489999999931 × 0.133629080282757 × 6371000     		du = 326.484545320871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43671506)-sin(-1.43676632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133679880377594-0.133629080282757)×R²
    abs(2.01334978-2.01296629)×5.08000948371834e-05×R²
    0.000383489999999931×5.08000948371834e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.08000948371834e-05×40589641000000     		ar = 106642.760231968m²