Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13440 / 14719
↖ ↑ ↗
← S 80.643463°
E115.312500°		 ← 397.22 m → S 80.643463°
E115.334473°		 →
↑
397.17 m
↓
↑
397.17 m
↓
S 80.647035°
E115.312500°		 ← 397.07 m →
157 734 m²		 S 80.647035°
E115.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.820343017578125 y=0.898406982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.820343017578125 × 214)
    floor (0.820343017578125 × 16384)
    floor (13440.5)     		tx = 13440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898406982421875 × 214)
    floor (0.898406982421875 × 16384)
    floor (14719.5)     		ty = 14719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13440 / 14719 ti = "14/13440/14719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13440/14719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13440 ÷ 214
    13440 ÷ 16384     		x = 0.8203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14719 ÷ 214
    14719 ÷ 16384     		y = 0.89837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8203125 × 2 - 1) × π
    0.640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.01258279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50307315056085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.01258279} λ = 2.01258279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50307315056085))-π/2
    2×atan(0.0818331262833813)-π/2
    2×0.0816511872000222-π/2
    0.163302374400044-1.57079632675     		φ = -1.40749395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.01258279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 115.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40749395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.643463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13440 KachelY 14719 2.01258279 -1.40749395 115.312500 -80.643463
    Oben rechts KachelX + 1 13441 KachelY 14719 2.01296629 -1.40749395 115.334473 -80.643463
    Unten links KachelX 13440 KachelY + 1 14720 2.01258279 -1.40755629 115.312500 -80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 13441 KachelY + 1 14720 2.01296629 -1.40755629 115.334473 -80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40749395--1.40755629) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dl = 397.168139999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40749395--1.40755629) × R
    6.23399999999386e-05 × 6371000     		dr = 397.168139999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.01258279-2.01296629) × cos(-1.40749395) × R
    0.00038349999999987 × 0.162577528423479 × 6371000     		do = 397.22217978009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.01258279-2.01296629) × cos(-1.40755629) × R
    0.00038349999999987 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 397.07189144652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40749395)-sin(-1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162577528423479-0.162516017493157)×R²
    abs(2.01296629-2.01258279)×6.15109303214179e-05×R²
    0.00038349999999987×6.15109303214179e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.15109303214179e-05×40589641000000     		ar = 157734.149492706m²