Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13424 / 15280
↖ ↑ ↗
← S 82.448764°
E114.960937°		 ← 321.08 m → S 82.448764°
E114.982910°		 →
↑
320.97 m
↓
↑
320.97 m
↓
S 82.451651°
E114.960937°		 ← 320.96 m →
103 037 m²		 S 82.451651°
E114.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.819366455078125 y=0.932647705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.819366455078125 × 214)
    floor (0.819366455078125 × 16384)
    floor (13424.5)     		tx = 13424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.932647705078125 × 214)
    floor (0.932647705078125 × 16384)
    floor (15280.5)     		ty = 15280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13424 / 15280 ti = "14/13424/15280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13424/15280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13424 ÷ 214
    13424 ÷ 16384     		x = 0.8193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15280 ÷ 214
    15280 ÷ 16384     		y = 0.9326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8193359375 × 2 - 1) × π
    0.638671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.00644687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    -0.865234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.71821395605566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.00644687} λ = 2.00644687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71821395605566))-π/2
    2×atan(0.0659925147638955)-π/2
    2×0.0658969649143413-π/2
    0.131793929828683-1.57079632675     		φ = -1.43900240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.00644687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43900240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.448764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13424 KachelY 15280 2.00644687 -1.43900240 114.960937 -82.448764
    Oben rechts KachelX + 1 13425 KachelY 15280 2.00683037 -1.43900240 114.982910 -82.448764
    Unten links KachelX 13424 KachelY + 1 15281 2.00644687 -1.43905278 114.960937 -82.451651
    Unten rechts KachelX + 1 13425 KachelY + 1 15281 2.00683037 -1.43905278 114.982910 -82.451651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43900240--1.43905278) × R
    5.03800000000165e-05 × 6371000     		dl = 320.970980000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43900240--1.43905278) × R
    5.03800000000165e-05 × 6371000     		dr = 320.970980000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.00644687-2.00683037) × cos(-1.43900240) × R
    0.00038349999999987 × 0.131412722523038 × 6371000     		do = 321.077879566895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.00644687-2.00683037) × cos(-1.43905278) × R
    0.00038349999999987 × 0.131362779264535 × 6371000     		du = 320.955854277176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43900240)-sin(-1.43905278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.131412722523038-0.131362779264535)×R²
    abs(2.00683037-2.00644687)×4.99432585023551e-05×R²
    0.00038349999999987×4.99432585023551e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.99432585023551e-05×40589641000000     		ar = 103037.098394331m²