Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1341 / 734
↖ ↑ ↗
← N 45.336702°
E 55.722656°		 ← 13.740 km → N 45.336702°
E 55.898437°		 →
↑
13.755 km
↓
↑
13.755 km
↓
N 45.213004°
E 55.722656°		 ← 13.770 km →
189.189 km²		 N 45.213004°
E 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655029296875 y=0.358642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655029296875 × 211)
    floor (0.655029296875 × 2048)
    floor (1341.5)     		tx = 1341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.358642578125 × 211)
    floor (0.358642578125 × 2048)
    floor (734.5)     		ty = 734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1341 / 734 ti = "11/1341/734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1341/734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1341 ÷ 211
    1341 ÷ 2048     		x = 0.65478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 734 ÷ 211
    734 ÷ 2048     		y = 0.3583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    0.3095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.97254382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3583984375 × 2 - 1) × π
    0.283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.889708856948242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97254382} λ = 0.97254382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.889708856948242))-π/2
    2×atan(2.43442078340776)-π/2
    2×1.18103552355058-π/2
    2.36207104710117-1.57079632675     		φ = 0.79127472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97254382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.722656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79127472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.336702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1341 KachelY 734 0.97254382 0.79127472 55.722656 45.336702
    Oben rechts KachelX + 1 1342 KachelY 734 0.97561178 0.79127472 55.898437 45.336702
    Unten links KachelX 1341 KachelY + 1 735 0.97254382 0.78911578 55.722656 45.213004
    Unten rechts KachelX + 1 1342 KachelY + 1 735 0.97561178 0.78911578 55.898437 45.213004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79127472-0.78911578) × R
    0.00215893999999994 × 6371000     		dl = 13754.6067399996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79127472-0.78911578) × R
    0.00215893999999994 × 6371000     		dr = 13754.6067399996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.97254382-0.97561178) × cos(0.79127472) × R
    0.00306796000000009 × 0.702939242531099 × 6371000     		do = 13739.631567624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.97254382-0.97561178) × cos(0.78911578) × R
    0.00306796000000009 × 0.70447314899197 × 6371000     		du = 13769.6132621381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79127472)-sin(0.78911578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702939242531099-0.70447314899197)×R²
    abs(0.97561178-0.97254382)×0.00153390646087193×R²
    0.00306796000000009×0.00153390646087193×6371000²
    0.00306796000000009×0.00153390646087193×40589641000000     		ar = 189189495.658573m²