Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1338 / 730
↖ ↑ ↗
← N 45.828799°
E 55.195312°		 ← 13.620 km → N 45.828799°
E 55.371094°		 →
↑
13.635 km
↓
↑
13.635 km
↓
N 45.706179°
E 55.195312°		 ← 13.650 km →
185.906 km²		 N 45.706179°
E 55.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.653564453125 y=0.356689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.653564453125 × 211)
    floor (0.653564453125 × 2048)
    floor (1338.5)     		tx = 1338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.356689453125 × 211)
    floor (0.356689453125 × 2048)
    floor (730.5)     		ty = 730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1338 / 730 ti = "11/1338/730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1338/730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1338 ÷ 211
    1338 ÷ 2048     		x = 0.6533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 730 ÷ 211
    730 ÷ 2048     		y = 0.3564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6533203125 × 2 - 1) × π
    0.306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.96333993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3564453125 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.96333993} λ = 0.96333993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.901980703250977))-π/2
    2×atan(2.46447968296184)-π/2
    2×1.18532988297924-π/2
    2.37065976595847-1.57079632675     		φ = 0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.96333993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1338 KachelY 730 0.96333993 0.79986344 55.195312 45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 1339 KachelY 730 0.96640790 0.79986344 55.371094 45.828799
    Unten links KachelX 1338 KachelY + 1 731 0.96333993 0.79772332 55.195312 45.706179
    Unten rechts KachelX + 1 1339 KachelY + 1 731 0.96640790 0.79772332 55.371094 45.706179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79986344-0.79772332) × R
    0.00214011999999997 × 6371000     		dl = 13634.7045199998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79986344-0.79772332) × R
    0.00214011999999997 × 6371000     		dr = 13634.7045199998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.96333993-0.96640790) × cos(0.79986344) × R
    0.00306797000000003 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 13619.7696732453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.96333993-0.96640790) × cos(0.79772332) × R
    0.00306797000000003 × 0.698338092591969 × 6371000     		du = 13649.7421055282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79986344)-sin(0.79772332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.698338092591969)×R²
    abs(0.96640790-0.96333993)×0.00153342759364894×R²
    0.00306797000000003×0.00153342759364894×6371000²
    0.00306797000000003×0.00153342759364894×40589641000000     		ar = 185905938.709979m²