Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13308 / 15380
↖ ↑ ↗
← S 82.732092°
E112.412110°		 ← 309.09 m → S 82.732092°
E112.434082°		 →
↑
308.99 m
↓
↑
308.99 m
↓
S 82.734871°
E112.412110°		 ← 308.97 m →
95 488 m²		 S 82.734871°
E112.434082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812286376953125 y=0.938751220703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812286376953125 × 214)
    floor (0.812286376953125 × 16384)
    floor (13308.5)     		tx = 13308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938751220703125 × 214)
    floor (0.938751220703125 × 16384)
    floor (15380.5)     		ty = 15380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13308 / 15380 ti = "14/13308/15380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13308/15380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13308 ÷ 214
    13308 ÷ 16384     		x = 0.812255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15380 ÷ 214
    15380 ÷ 16384     		y = 0.938720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.812255859375 × 2 - 1) × π
    0.62451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.96196143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96196143} λ = 1.96196143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75656347575171))-π/2
    2×atan(0.0635096462131666)-π/2
    2×0.063424464072844-π/2
    0.126848928145688-1.57079632675     		φ = -1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96196143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.412110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13308 KachelY 15380 1.96196143 -1.44394740 112.412110 -82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 13309 KachelY 15380 1.96234492 -1.44394740 112.434082 -82.732092
    Unten links KachelX 13308 KachelY + 1 15381 1.96196143 -1.44399590 112.412110 -82.734871
    Unten rechts KachelX + 1 13309 KachelY + 1 15381 1.96234492 -1.44399590 112.434082 -82.734871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44394740--1.44399590) × R
    4.84999999998958e-05 × 6371000     		dl = 308.993499999336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44394740--1.44399590) × R
    4.84999999998958e-05 × 6371000     		dr = 308.993499999336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96196143-1.96234492) × cos(-1.44394740) × R
    0.000383490000000153 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 309.088708954056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96196143-1.96234492) × cos(-1.44399590) × R
    0.000383490000000153 × 0.126460909617235 × 6371000     		du = 308.971164733806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44394740)-sin(-1.44399590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.126460909617235)×R²
    abs(1.96234492-1.96196143)×4.8110473434837e-05×R²
    0.000383490000000153×4.8110473434837e-05×6371000²
    0.000383490000000153×4.8110473434837e-05×40589641000000     		ar = 95488.2418097641m²