Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13305 / 15416
↖ ↑ ↗
← S 82.831480°
E112.346191°		 ← 304.89 m → S 82.831480°
E112.368164°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
S 82.834222°
E112.346191°		 ← 304.78 m →
92 929 m²		 S 82.834222°
E112.368164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.812103271484375 y=0.940948486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.812103271484375 × 214)
    floor (0.812103271484375 × 16384)
    floor (13305.5)     		tx = 13305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940948486328125 × 214)
    floor (0.940948486328125 × 16384)
    floor (15416.5)     		ty = 15416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13305 / 15416 ti = "14/13305/15416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13305/15416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13305 ÷ 214
    13305 ÷ 16384     		x = 0.81207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15416 ÷ 214
    15416 ÷ 16384     		y = 0.94091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81207275390625 × 2 - 1) × π
    0.6241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96081094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94091796875 × 2 - 1) × π
    -0.8818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.77036930284229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96081094} λ = 1.96081094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.77036930284229))-π/2
    2×atan(0.0626388677582385)-π/2
    2×0.0625571362159476-π/2
    0.125114272431895-1.57079632675     		φ = -1.44568205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96081094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.346191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44568205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.831480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13305 KachelY 15416 1.96081094 -1.44568205 112.346191 -82.831480
    Oben rechts KachelX + 1 13306 KachelY 15416 1.96119444 -1.44568205 112.368164 -82.831480
    Unten links KachelX 13305 KachelY + 1 15417 1.96081094 -1.44572990 112.346191 -82.834222
    Unten rechts KachelX + 1 13306 KachelY + 1 15417 1.96119444 -1.44572990 112.368164 -82.834222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44568205--1.44572990) × R
    4.78499999998494e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44568205--1.44572990) × R
    4.78499999998494e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96081094-1.96119444) × cos(-1.44568205) × R
    0.000383500000000092 × 0.12478811774022 × 6371000     		do = 304.892125130222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96081094-1.96119444) × cos(-1.44572990) × R
    0.000383500000000092 × 0.124740641621052 × 6371000     		du = 304.776127748996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44568205)-sin(-1.44572990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12478811774022-0.124740641621052)×R²
    abs(1.96119444-1.96081094)×4.74761191680273e-05×R²
    0.000383500000000092×4.74761191680273e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.74761191680273e-05×40589641000000     		ar = 92929.3998219448m²