Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13299 / 15375
↖ ↑ ↗
← S 82.718180°
E112.214355°		 ← 309.69 m → S 82.718180°
E112.236328°		 →
↑
309.63 m
↓
↑
309.63 m
↓
S 82.720964°
E112.214355°		 ← 309.57 m →
95 870 m²		 S 82.720964°
E112.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811737060546875 y=0.938446044921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811737060546875 × 214)
    floor (0.811737060546875 × 16384)
    floor (13299.5)     		tx = 13299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938446044921875 × 214)
    floor (0.938446044921875 × 16384)
    floor (15375.5)     		ty = 15375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13299 / 15375 ti = "14/13299/15375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13299/15375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13299 ÷ 214
    13299 ÷ 16384     		x = 0.81170654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15375 ÷ 214
    15375 ÷ 16384     		y = 0.93841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81170654296875 × 2 - 1) × π
    0.6234130859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95850997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.8768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.75464599976691
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95850997} λ = 1.95850997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75464599976691))-π/2
    2×atan(0.0636315412626509)-π/2
    2×0.0635458685001336-π/2
    0.127091737000267-1.57079632675     		φ = -1.44370459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95850997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.214355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44370459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.718180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13299 KachelY 15375 1.95850997 -1.44370459 112.214355 -82.718180
    Oben rechts KachelX + 1 13300 KachelY 15375 1.95889347 -1.44370459 112.236328 -82.718180
    Unten links KachelX 13299 KachelY + 1 15376 1.95850997 -1.44375319 112.214355 -82.720964
    Unten rechts KachelX + 1 13300 KachelY + 1 15376 1.95889347 -1.44375319 112.236328 -82.720964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44370459--1.44375319) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dl = 309.630599999708m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44370459--1.44375319) × R
    4.85999999999542e-05 × 6371000     		dr = 309.630599999708m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95850997-1.95889347) × cos(-1.44370459) × R
    0.000383500000000092 × 0.126749875491635 × 6371000     		do = 309.685245666464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95850997-1.95889347) × cos(-1.44375319) × R
    0.000383500000000092 × 0.126701667315055 × 6371000     		du = 309.567459665101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44370459)-sin(-1.44375319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126749875491635-0.126701667315055)×R²
    abs(1.95889347-1.95850997)×4.82081765799669e-05×R²
    0.000383500000000092×4.82081765799669e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.82081765799669e-05×40589641000000     		ar = 95869.7933693498m²