Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13298 / 15409
↖ ↑ ↗
← S 82.812261°
E112.192383°		 ← 305.70 m → S 82.812261°
E112.214355°		 →
↑
305.62 m
↓
↑
305.62 m
↓
S 82.815010°
E112.192383°		 ← 305.58 m →
93 408 m²		 S 82.815010°
E112.214355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811676025390625 y=0.940521240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811676025390625 × 214)
    floor (0.811676025390625 × 16384)
    floor (13298.5)     		tx = 13298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.940521240234375 × 214)
    floor (0.940521240234375 × 16384)
    floor (15409.5)     		ty = 15409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13298 / 15409 ti = "14/13298/15409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13298/15409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13298 ÷ 214
    13298 ÷ 16384     		x = 0.8116455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15409 ÷ 214
    15409 ÷ 16384     		y = 0.94049072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8116455078125 × 2 - 1) × π
    0.623291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95812648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.94049072265625 × 2 - 1) × π
    -0.8809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.76768483646356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95812648} λ = 1.95812648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.76768483646356))-π/2
    2×atan(0.0628072455939403)-π/2
    2×0.062724854218141-π/2
    0.125449708436282-1.57079632675     		φ = -1.44534662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95812648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.192383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44534662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.812261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13298 KachelY 15409 1.95812648 -1.44534662 112.192383 -82.812261
    Oben rechts KachelX + 1 13299 KachelY 15409 1.95850997 -1.44534662 112.214355 -82.812261
    Unten links KachelX 13298 KachelY + 1 15410 1.95812648 -1.44539459 112.192383 -82.815010
    Unten rechts KachelX + 1 13299 KachelY + 1 15410 1.95850997 -1.44539459 112.214355 -82.815010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44534662--1.44539459) × R
    4.79700000000083e-05 × 6371000     		dl = 305.616870000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44534662--1.44539459) × R
    4.79700000000083e-05 × 6371000     		dr = 305.616870000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95812648-1.95850997) × cos(-1.44534662) × R
    0.000383489999999931 × 0.12512091879615 × 6371000     		do = 305.697279341087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95812648-1.95850997) × cos(-1.44539459) × R
    0.000383489999999931 × 0.125073325624462 × 6371000     		du = 305.580999000116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44534662)-sin(-1.44539459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12512091879615-0.125073325624462)×R²
    abs(1.95850997-1.95812648)×4.75931716876488e-05×R²
    0.000383489999999931×4.75931716876488e-05×6371000²
    0.000383489999999931×4.75931716876488e-05×40589641000000     		ar = 93408.4770799544m²