Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13297 / 15379
↖ ↑ ↗
← S 82.729311°
E112.170410°		 ← 309.21 m → S 82.729311°
E112.192383°		 →
↑
309.18 m
↓
↑
309.18 m
↓
S 82.732092°
E112.170410°		 ← 309.10 m →
95 586 m²		 S 82.732092°
E112.192383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811614990234375 y=0.938690185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811614990234375 × 214)
    floor (0.811614990234375 × 16384)
    floor (13297.5)     		tx = 13297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938690185546875 × 214)
    floor (0.938690185546875 × 16384)
    floor (15379.5)     		ty = 15379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13297 / 15379 ti = "14/13297/15379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13297/15379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13297 ÷ 214
    13297 ÷ 16384     		x = 0.81158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15379 ÷ 214
    15379 ÷ 16384     		y = 0.93865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81158447265625 × 2 - 1) × π
    0.6231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95774298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.8773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75617998055475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95774298} λ = 1.95774298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75617998055475))-π/2
    2×atan(0.0635340065281834)-π/2
    2×0.0634487264884684-π/2
    0.126897452976937-1.57079632675     		φ = -1.44389887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95774298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.170410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44389887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.729311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13297 KachelY 15379 1.95774298 -1.44389887 112.170410 -82.729311
    Oben rechts KachelX + 1 13298 KachelY 15379 1.95812648 -1.44389887 112.192383 -82.729311
    Unten links KachelX 13297 KachelY + 1 15380 1.95774298 -1.44394740 112.170410 -82.732092
    Unten rechts KachelX + 1 13298 KachelY + 1 15380 1.95812648 -1.44394740 112.192383 -82.732092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44389887--1.44394740) × R
    4.85300000001576e-05 × 6371000     		dl = 309.184630001004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44389887--1.44394740) × R
    4.85300000001576e-05 × 6371000     		dr = 309.184630001004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95774298-1.95812648) × cos(-1.44389887) × R
    0.000383500000000092 × 0.126557160025304 × 6371000     		do = 309.214388110959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95774298-1.95812648) × cos(-1.44394740) × R
    0.000383500000000092 × 0.12650902009067 × 6371000     		du = 309.096768843677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44389887)-sin(-1.44394740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126557160025304-0.12650902009067)×R²
    abs(1.95812648-1.95774298)×4.81399346337896e-05×R²
    0.000383500000000092×4.81399346337896e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.81399346337896e-05×40589641000000     		ar = 95586.1531621824m²