Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13295 / 15377
↖ ↑ ↗
← S 82.723748°
E112.126465°		 ← 309.45 m → S 82.723748°
E112.148438°		 →
↑
309.38 m
↓
↑
309.38 m
↓
S 82.726530°
E112.126465°		 ← 309.33 m →
95 718 m²		 S 82.726530°
E112.148438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811492919921875 y=0.938568115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811492919921875 × 214)
    floor (0.811492919921875 × 16384)
    floor (13295.5)     		tx = 13295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938568115234375 × 214)
    floor (0.938568115234375 × 16384)
    floor (15377.5)     		ty = 15377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13295 / 15377 ti = "14/13295/15377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13295/15377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13295 ÷ 214
    13295 ÷ 16384     		x = 0.81146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15377 ÷ 214
    15377 ÷ 16384     		y = 0.93853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.81146240234375 × 2 - 1) × π
    0.6229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95697599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.93853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.8770751953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.75541299016083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95697599} λ = 1.95697599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75541299016083))-π/2
    2×atan(0.063582755193367)-π/2
    2×0.0634972790175553-π/2
    0.126994558035111-1.57079632675     		φ = -1.44380177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95697599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44380177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.723748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13295 KachelY 15377 1.95697599 -1.44380177 112.126465 -82.723748
    Oben rechts KachelX + 1 13296 KachelY 15377 1.95735949 -1.44380177 112.148438 -82.723748
    Unten links KachelX 13295 KachelY + 1 15378 1.95697599 -1.44385033 112.126465 -82.726530
    Unten rechts KachelX + 1 13296 KachelY + 1 15378 1.95735949 -1.44385033 112.148438 -82.726530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44380177--1.44385033) × R
    4.85599999999753e-05 × 6371000     		dl = 309.375759999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44380177--1.44385033) × R
    4.85599999999753e-05 × 6371000     		dr = 309.375759999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95697599-1.95735949) × cos(-1.44380177) × R
    0.00038349999999987 × 0.126653478678151 × 6371000     		do = 309.449721404431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95697599-1.95735949) × cos(-1.44385033) × R
    0.00038349999999987 × 0.126605309581407 × 6371000     		du = 309.33203088599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44380177)-sin(-1.44385033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126653478678151-0.126605309581407)×R²
    abs(1.95735949-1.95697599)×4.81690967445714e-05×R²
    0.00038349999999987×4.81690967445714e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.81690967445714e-05×40589641000000     		ar = 95718.0374632975m²