Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13294 / 15378
↖ ↑ ↗
← S 82.726530°
E112.104492°		 ← 309.33 m → S 82.726530°
E112.126465°		 →
↑
309.25 m
↓
↑
309.25 m
↓
S 82.729311°
E112.104492°		 ← 309.21 m →
95 642 m²		 S 82.729311°
E112.126465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811431884765625 y=0.938629150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811431884765625 × 214)
    floor (0.811431884765625 × 16384)
    floor (13294.5)     		tx = 13294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938629150390625 × 214)
    floor (0.938629150390625 × 16384)
    floor (15378.5)     		ty = 15378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13294 / 15378 ti = "14/13294/15378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13294/15378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13294 ÷ 214
    13294 ÷ 16384     		x = 0.8114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15378 ÷ 214
    15378 ÷ 16384     		y = 0.9385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8114013671875 × 2 - 1) × π
    0.622802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95659249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.75579648535779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95659249} λ = 1.95659249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75579648535779))-π/2
    2×atan(0.0635583761870555)-π/2
    2×0.0634729981355538-π/2
    0.126945996271108-1.57079632675     		φ = -1.44385033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95659249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.104492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44385033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.726530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13294 KachelY 15378 1.95659249 -1.44385033 112.104492 -82.726530
    Oben rechts KachelX + 1 13295 KachelY 15378 1.95697599 -1.44385033 112.126465 -82.726530
    Unten links KachelX 13294 KachelY + 1 15379 1.95659249 -1.44389887 112.104492 -82.729311
    Unten rechts KachelX + 1 13295 KachelY + 1 15379 1.95697599 -1.44389887 112.126465 -82.729311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44385033--1.44389887) × R
    4.85399999998748e-05 × 6371000     		dl = 309.248339999202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44385033--1.44389887) × R
    4.85399999998748e-05 × 6371000     		dr = 309.248339999202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95659249-1.95697599) × cos(-1.44385033) × R
    0.000383500000000092 × 0.126605309581407 × 6371000     		do = 309.332030886169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95659249-1.95697599) × cos(-1.44389887) × R
    0.000383500000000092 × 0.126557160025304 × 6371000     		du = 309.214388110959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44385033)-sin(-1.44389887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126605309581407-0.126557160025304)×R²
    abs(1.95697599-1.95659249)×4.81495561028e-05×R²
    0.000383500000000092×4.81495561028e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.81495561028e-05×40589641000000     		ar = 95642.2266633923m²