Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13292 / 15372
↖ ↑ ↗
← S 82.709820°
E112.060547°		 ← 310.04 m → S 82.709820°
E112.082520°		 →
↑
310.01 m
↓
↑
310.01 m
↓
S 82.712608°
E112.060547°		 ← 309.92 m →
96 098 m²		 S 82.712608°
E112.082520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811309814453125 y=0.938262939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811309814453125 × 214)
    floor (0.811309814453125 × 16384)
    floor (13292.5)     		tx = 13292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.938262939453125 × 214)
    floor (0.938262939453125 × 16384)
    floor (15372.5)     		ty = 15372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13292 / 15372 ti = "14/13292/15372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13292/15372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13292 ÷ 214
    13292 ÷ 16384     		x = 0.811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15372 ÷ 214
    15372 ÷ 16384     		y = 0.938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811279296875 × 2 - 1) × π
    0.62255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95582550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.87646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.75349551417603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95582550} λ = 1.95582550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.75349551417603))-π/2
    2×atan(0.0637047905620514)-π/2
    2×0.0636188220723228-π/2
    0.127237644144646-1.57079632675     		φ = -1.44355868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95582550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.060547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44355868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.709820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13292 KachelY 15372 1.95582550 -1.44355868 112.060547 -82.709820
    Oben rechts KachelX + 1 13293 KachelY 15372 1.95620900 -1.44355868 112.082520 -82.709820
    Unten links KachelX 13292 KachelY + 1 15373 1.95582550 -1.44360734 112.060547 -82.712608
    Unten rechts KachelX + 1 13293 KachelY + 1 15373 1.95620900 -1.44360734 112.082520 -82.712608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44355868--1.44360734) × R
    4.86600000000337e-05 × 6371000     		dl = 310.012860000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44355868--1.44360734) × R
    4.86600000000337e-05 × 6371000     		dr = 310.012860000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95582550-1.95620900) × cos(-1.44355868) × R
    0.000383500000000092 × 0.126894607335434 × 6371000     		do = 310.038865868684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95582550-1.95620900) × cos(-1.44360734) × R
    0.000383500000000092 × 0.126846340542666 × 6371000     		du = 309.920936651649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44355868)-sin(-1.44360734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.126894607335434-0.126846340542666)×R²
    abs(1.95620900-1.95582550)×4.82667927683145e-05×R²
    0.000383500000000092×4.82667927683145e-05×6371000²
    0.000383500000000092×4.82667927683145e-05×40589641000000     		ar = 96097.7557524295m²