Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13264 / 15472
↖ ↑ ↗
← S 82.983404°
E111.445313°		 ← 298.46 m → S 82.983404°
E111.467285°		 →
↑
298.35 m
↓
↑
298.35 m
↓
S 82.986087°
E111.445313°		 ← 298.34 m →
89 028 m²		 S 82.986087°
E111.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809600830078125 y=0.944366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809600830078125 × 214)
    floor (0.809600830078125 × 16384)
    floor (13264.5)     		tx = 13264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.944366455078125 × 214)
    floor (0.944366455078125 × 16384)
    floor (15472.5)     		ty = 15472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13264 / 15472 ti = "14/13264/15472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13264/15472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13264 ÷ 214
    13264 ÷ 16384     		x = 0.8095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15472 ÷ 214
    15472 ÷ 16384     		y = 0.9443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8095703125 × 2 - 1) × π
    0.619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94508764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    -0.888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.79184503387207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94508764} λ = 1.94508764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79184503387207))-π/2
    2×atan(0.0613079941741098)-π/2
    2×0.0612313547614921-π/2
    0.122462709522984-1.57079632675     		φ = -1.44833362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94508764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.445313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44833362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.983404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13264 KachelY 15472 1.94508764 -1.44833362 111.445313 -82.983404
    Oben rechts KachelX + 1 13265 KachelY 15472 1.94547113 -1.44833362 111.467285 -82.983404
    Unten links KachelX 13264 KachelY + 1 15473 1.94508764 -1.44838045 111.445313 -82.986087
    Unten rechts KachelX + 1 13265 KachelY + 1 15473 1.94547113 -1.44838045 111.467285 -82.986087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44833362--1.44838045) × R
    4.68299999998312e-05 × 6371000     		dl = 298.353929998924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44833362--1.44838045) × R
    4.68299999998312e-05 × 6371000     		dr = 298.353929998924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94508764-1.94547113) × cos(-1.44833362) × R
    0.000383490000000153 × 0.122156838368435 × 6371000     		do = 298.455394201518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94508764-1.94547113) × cos(-1.44838045) × R
    0.000383490000000153 × 0.122110358953298 × 6371000     		du = 298.341835007026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44833362)-sin(-1.44838045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122156838368435-0.122110358953298)×R²
    abs(1.94547113-1.94508764)×4.64794151365105e-05×R²
    0.000383490000000153×4.64794151365105e-05×6371000²
    0.000383490000000153×4.64794151365105e-05×40589641000000     		ar = 89028.3993904402m²