Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13218 / 15266
↖ ↑ ↗
← S 82.408231°
E110.434570°		 ← 322.79 m → S 82.408231°
E110.456543°		 →
↑
322.75 m
↓
↑
322.75 m
↓
S 82.411134°
E110.434570°		 ← 322.67 m →
104 163 m²		 S 82.411134°
E110.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806793212890625 y=0.931793212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806793212890625 × 214)
    floor (0.806793212890625 × 16384)
    floor (13218.5)     		tx = 13218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.931793212890625 × 214)
    floor (0.931793212890625 × 16384)
    floor (15266.5)     		ty = 15266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13218 / 15266 ti = "14/13218/15266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13218/15266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13218 ÷ 214
    13218 ÷ 16384     		x = 0.8067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15266 ÷ 214
    15266 ÷ 16384     		y = 0.9317626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8067626953125 × 2 - 1) × π
    0.613525390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92744686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9317626953125 × 2 - 1) × π
    -0.863525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.71284502329822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92744686} λ = 1.92744686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.71284502329822))-π/2
    2×atan(0.0663477769742349)-π/2
    2×0.0662506783907412-π/2
    0.132501356781482-1.57079632675     		φ = -1.43829497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92744686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.434570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43829497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.408231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13218 KachelY 15266 1.92744686 -1.43829497 110.434570 -82.408231
    Oben rechts KachelX + 1 13219 KachelY 15266 1.92783036 -1.43829497 110.456543 -82.408231
    Unten links KachelX 13218 KachelY + 1 15267 1.92744686 -1.43834563 110.434570 -82.411134
    Unten rechts KachelX + 1 13219 KachelY + 1 15267 1.92783036 -1.43834563 110.456543 -82.411134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43829497--1.43834563) × R
    5.06599999998691e-05 × 6371000     		dl = 322.754859999166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43829497--1.43834563) × R
    5.06599999998691e-05 × 6371000     		dr = 322.754859999166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92744686-1.92783036) × cos(-1.43829497) × R
    0.00038349999999987 × 0.13211398456738 × 6371000     		do = 322.791258042702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92744686-1.92783036) × cos(-1.43834563) × R
    0.00038349999999987 × 0.132063768456539 × 6371000     		du = 322.668566098731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43829497)-sin(-1.43834563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.13211398456738-0.132063768456539)×R²
    abs(1.92783036-1.92744686)×5.02161108405508e-05×R²
    0.00038349999999987×5.02161108405508e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.02161108405508e-05×40589641000000     		ar = 104162.647609356m²