Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13216 / 15200
↖ ↑ ↗
← S 82.214217°
E110.390625°		 ← 330.98 m → S 82.214217°
E110.412597°		 →
↑
330.91 m
↓
↑
330.91 m
↓
S 82.217193°
E110.390625°		 ← 330.86 m →
109 504 m²		 S 82.217193°
E110.412597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806671142578125 y=0.927764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806671142578125 × 214)
    floor (0.806671142578125 × 16384)
    floor (13216.5)     		tx = 13216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.927764892578125 × 214)
    floor (0.927764892578125 × 16384)
    floor (15200.5)     		ty = 15200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13216 / 15200 ti = "14/13216/15200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13216/15200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13216 ÷ 214
    13216 ÷ 16384     		x = 0.806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15200 ÷ 214
    15200 ÷ 16384     		y = 0.927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806640625 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92667987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.927734375 × 2 - 1) × π
    -0.85546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.68753434029883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92667987} λ = 1.92667987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.68753434029883))-π/2
    2×atan(0.0680485171784717)-π/2
    2×0.0679437728720556-π/2
    0.135887545744111-1.57079632675     		φ = -1.43490878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92667987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43490878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.214217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13216 KachelY 15200 1.92667987 -1.43490878 110.390625 -82.214217
    Oben rechts KachelX + 1 13217 KachelY 15200 1.92706336 -1.43490878 110.412597 -82.214217
    Unten links KachelX 13216 KachelY + 1 15201 1.92667987 -1.43496072 110.390625 -82.217193
    Unten rechts KachelX + 1 13217 KachelY + 1 15201 1.92706336 -1.43496072 110.412597 -82.217193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43490878--1.43496072) × R
    5.19400000000836e-05 × 6371000     		dl = 330.909740000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43490878--1.43496072) × R
    5.19400000000836e-05 × 6371000     		dr = 330.909740000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92667987-1.92706336) × cos(-1.43490878) × R
    0.000383489999999931 × 0.135469729181416 × 6371000     		do = 330.98164593327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92667987-1.92706336) × cos(-1.43496072) × R
    0.000383489999999931 × 0.135418267808337 × 6371000     		du = 330.855914745451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43490878)-sin(-1.43496072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.135469729181416-0.135418267808337)×R²
    abs(1.92706336-1.92667987)×5.14613730786817e-05×R²
    0.000383489999999931×5.14613730786817e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.14613730786817e-05×40589641000000     		ar = 109504.247587796m²