Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13208 / 14968
↖ ↑ ↗
← S 81.492306°
E110.214844°		 ← 361.45 m → S 81.492306°
E110.236816°		 →
↑
361.43 m
↓
↑
361.43 m
↓
S 81.495556°
E110.214844°		 ← 361.32 m →
130 615 m²		 S 81.495556°
E110.236816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806182861328125 y=0.913604736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806182861328125 × 214)
    floor (0.806182861328125 × 16384)
    floor (13208.5)     		tx = 13208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913604736328125 × 214)
    floor (0.913604736328125 × 16384)
    floor (14968.5)     		ty = 14968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13208 / 14968 ti = "14/13208/14968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13208/14968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13208 ÷ 214
    13208 ÷ 16384     		x = 0.80615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14968 ÷ 214
    14968 ÷ 16384     		y = 0.91357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80615234375 × 2 - 1) × π
    0.6123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.92361191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    -0.8271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.598563454604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92361191} λ = 1.92361191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.598563454604))-π/2
    2×atan(0.0743803522556785)-π/2
    2×0.0742436375893174-π/2
    0.148487275178635-1.57079632675     		φ = -1.42230905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92361191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.214844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42230905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.492306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13208 KachelY 14968 1.92361191 -1.42230905 110.214844 -81.492306
    Oben rechts KachelX + 1 13209 KachelY 14968 1.92399540 -1.42230905 110.236816 -81.492306
    Unten links KachelX 13208 KachelY + 1 14969 1.92361191 -1.42236578 110.214844 -81.495556
    Unten rechts KachelX + 1 13209 KachelY + 1 14969 1.92399540 -1.42236578 110.236816 -81.495556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42230905--1.42236578) × R
    5.67300000000603e-05 × 6371000     		dl = 361.426830000384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42230905--1.42236578) × R
    5.67300000000603e-05 × 6371000     		dr = 361.426830000384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92361191-1.92399540) × cos(-1.42230905) × R
    0.000383489999999931 × 0.147942225107967 × 6371000     		do = 361.45463244923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92361191-1.92399540) × cos(-1.42236578) × R
    0.000383489999999931 × 0.147886119126569 × 6371000     		du = 361.317553485671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42230905)-sin(-1.42236578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147942225107967-0.147886119126569)×R²
    abs(1.92399540-1.92361191)×5.61059813978804e-05×R²
    0.000383489999999931×5.61059813978804e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.61059813978804e-05×40589641000000     		ar = 130614.630022903m²