Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13193 / 14985
↖ ↑ ↗
← S 81.547390°
E109.885254°		 ← 359.14 m → S 81.547390°
E109.907227°		 →
↑
359.07 m
↓
↑
359.07 m
↓
S 81.550619°
E109.885254°		 ← 359 m →
128 932 m²		 S 81.550619°
E109.907227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805267333984375 y=0.914642333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805267333984375 × 214)
    floor (0.805267333984375 × 16384)
    floor (13193.5)     		tx = 13193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914642333984375 × 214)
    floor (0.914642333984375 × 16384)
    floor (14985.5)     		ty = 14985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13193 / 14985 ti = "14/13193/14985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13193/14985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13193 ÷ 214
    13193 ÷ 16384     		x = 0.80523681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14985 ÷ 214
    14985 ÷ 16384     		y = 0.91461181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80523681640625 × 2 - 1) × π
    0.6104736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91785948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.8292236328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.60508287295233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91785948} λ = 1.91785948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60508287295233))-π/2
    2×atan(0.0738970128801635)-π/2
    2×0.0737629403963494-π/2
    0.147525880792699-1.57079632675     		φ = -1.42327045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91785948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.885254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42327045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.547390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13193 KachelY 14985 1.91785948 -1.42327045 109.885254 -81.547390
    Oben rechts KachelX + 1 13194 KachelY 14985 1.91824298 -1.42327045 109.907227 -81.547390
    Unten links KachelX 13193 KachelY + 1 14986 1.91785948 -1.42332681 109.885254 -81.550619
    Unten rechts KachelX + 1 13194 KachelY + 1 14986 1.91824298 -1.42332681 109.907227 -81.550619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42327045--1.42332681) × R
    5.63600000000886e-05 × 6371000     		dl = 359.069560000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42327045--1.42332681) × R
    5.63600000000886e-05 × 6371000     		dr = 359.069560000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91785948-1.91824298) × cos(-1.42327045) × R
    0.000383500000000092 × 0.146991336124421 × 6371000     		do = 359.140771239157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91785948-1.91824298) × cos(-1.42332681) × R
    0.000383500000000092 × 0.146935588085735 × 6371000     		du = 359.004563254818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42327045)-sin(-1.42332681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146991336124421-0.146935588085735)×R²
    abs(1.91824298-1.91785948)×5.57480386861597e-05×R²
    0.000383500000000092×5.57480386861597e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.57480386861597e-05×40589641000000     		ar = 128932.064670071m²