Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 13191 / 14983
↖ ↑ ↗
← S 81.540928°
E109.841309°		 ← 359.40 m → S 81.540928°
E109.863281°		 →
↑
359.32 m
↓
↑
359.32 m
↓
S 81.544159°
E109.841309°		 ← 359.27 m →
129 118 m²		 S 81.544159°
E109.863281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805145263671875 y=0.914520263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805145263671875 × 214)
    floor (0.805145263671875 × 16384)
    floor (13191.5)     		tx = 13191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914520263671875 × 214)
    floor (0.914520263671875 × 16384)
    floor (14983.5)     		ty = 14983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13191 / 14983 ti = "14/13191/14983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13191/14983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13191 ÷ 214
    13191 ÷ 16384     		x = 0.80511474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14983 ÷ 214
    14983 ÷ 16384     		y = 0.91448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80511474609375 × 2 - 1) × π
    0.6102294921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91709249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.8289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60431588255841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91709249} λ = 1.91709249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60431588255841))-π/2
    2×atan(0.0739537129205956)-π/2
    2×0.0738193322575417-π/2
    0.147638664515083-1.57079632675     		φ = -1.42315766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91709249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.841309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42315766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.540928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13191 KachelY 14983 1.91709249 -1.42315766 109.841309 -81.540928
    Oben rechts KachelX + 1 13192 KachelY 14983 1.91747598 -1.42315766 109.863281 -81.540928
    Unten links KachelX 13191 KachelY + 1 14984 1.91709249 -1.42321406 109.841309 -81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 13192 KachelY + 1 14984 1.91747598 -1.42321406 109.863281 -81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42315766--1.42321406) × R
    5.64000000000675e-05 × 6371000     		dl = 359.32440000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42315766--1.42321406) × R
    5.64000000000675e-05 × 6371000     		dr = 359.32440000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91709249-1.91747598) × cos(-1.42315766) × R
    0.000383490000000153 × 0.147102900039368 × 6371000     		do = 359.403981028219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91709249-1.91747598) × cos(-1.42321406) × R
    0.000383490000000153 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 359.267682212732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42315766)-sin(-1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147102900039368-0.147047113370081)×R²
    abs(1.91747598-1.91709249)×5.57866692871556e-05×R²
    0.000383490000000153×5.57866692871556e-05×6371000²
    0.000383490000000153×5.57866692871556e-05×40589641000000     		ar = 129118.132129928m²