Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 13186 / 14978
↖ ↑ ↗
← S 81.524751°
E109.731445°		 ← 360.10 m → S 81.524751°
E109.753418°		 →
↑
360.03 m
↓
↑
360.03 m
↓
S 81.527989°
E109.731445°		 ← 359.96 m →
129 619 m²		 S 81.527989°
E109.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804840087890625 y=0.914215087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804840087890625 × 214)
    floor (0.804840087890625 × 16384)
    floor (13186.5)     		tx = 13186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914215087890625 × 214)
    floor (0.914215087890625 × 16384)
    floor (14978.5)     		ty = 14978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 13186 / 14978 ti = "14/13186/14978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/13186/14978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13186 ÷ 214
    13186 ÷ 16384     		x = 0.8048095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14978 ÷ 214
    14978 ÷ 16384     		y = 0.9141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8048095703125 × 2 - 1) × π
    0.609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91517501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60239840657361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91517501} λ = 1.91517501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60239840657361))-π/2
    2×atan(0.0740956534293766)-π/2
    2×0.0739604992200199-π/2
    0.14792099844004-1.57079632675     		φ = -1.42287533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91517501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42287533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.524751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13186 KachelY 14978 1.91517501 -1.42287533 109.731445 -81.524751
    Oben rechts KachelX + 1 13187 KachelY 14978 1.91555851 -1.42287533 109.753418 -81.524751
    Unten links KachelX 13186 KachelY + 1 14979 1.91517501 -1.42293184 109.731445 -81.527989
    Unten rechts KachelX + 1 13187 KachelY + 1 14979 1.91555851 -1.42293184 109.753418 -81.527989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42287533--1.42293184) × R
    5.65099999998431e-05 × 6371000     		dl = 360.025209999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42287533--1.42293184) × R
    5.65099999998431e-05 × 6371000     		dr = 360.025209999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91517501-1.91555851) × cos(-1.42287533) × R
    0.000383500000000092 × 0.147382152759612 × 6371000     		do = 360.095645121361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91517501-1.91555851) × cos(-1.42293184) × R
    0.000383500000000092 × 0.14732625963481 × 6371000     		du = 359.959082651236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42287533)-sin(-1.42293184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147382152759612-0.14732625963481)×R²
    abs(1.91555851-1.91517501)×5.5893124801254e-05×R²
    0.000383500000000092×5.5893124801254e-05×6371000²
    0.000383500000000092×5.5893124801254e-05×40589641000000     		ar = 129618.927322331m²