Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1300 / 1334
↖ ↑ ↗
← S 47.754098°
E 48.515625°		 ← 13.141 km → S 47.754098°
E 48.691406°		 →
↑
13.126 km
↓
↑
13.126 km
↓
S 47.872144°
E 48.515625°		 ← 13.111 km →
172.295 km²		 S 47.872144°
E 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635009765625 y=0.651611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635009765625 × 211)
    floor (0.635009765625 × 2048)
    floor (1300.5)     		tx = 1300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651611328125 × 211)
    floor (0.651611328125 × 2048)
    floor (1334.5)     		ty = 1334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1300 / 1334 ti = "11/1300/1334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1300/1334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1300 ÷ 211
    1300 ÷ 2048     		x = 0.634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1334 ÷ 211
    1334 ÷ 2048     		y = 0.6513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634765625 × 2 - 1) × π
    0.26953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84675739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6513671875 × 2 - 1) × π
    -0.302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.951068088461914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84675739} λ = 0.84675739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.951068088461914))-π/2
    2×atan(0.386328170350668)-π/2
    2×0.368665042873892-π/2
    0.737330085747784-1.57079632675     		φ = -0.83346624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84675739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83346624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.754098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1300 KachelY 1334 0.84675739 -0.83346624 48.515625 -47.754098
    Oben rechts KachelX + 1 1301 KachelY 1334 0.84982536 -0.83346624 48.691406 -47.754098
    Unten links KachelX 1300 KachelY + 1 1335 0.84675739 -0.83552653 48.515625 -47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 1301 KachelY + 1 1335 0.84982536 -0.83552653 48.691406 -47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83346624--0.83552653) × R
    0.00206028999999996 × 6371000     		dl = 13126.1075899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83346624--0.83552653) × R
    0.00206028999999996 × 6371000     		dr = 13126.1075899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84675739-0.84982536) × cos(-0.83346624) × R
    0.00306796999999992 × 0.672313863706238 × 6371000     		do = 13141.0715682139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84675739-0.84982536) × cos(-0.83552653) × R
    0.00306796999999992 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 13111.2328049518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83346624)-sin(-0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672313863706238-0.670787274788976)×R²
    abs(0.84982536-0.84675739)×0.00152658891726221×R²
    0.00306796999999992×0.00152658891726221×6371000²
    0.00306796999999992×0.00152658891726221×40589641000000     		ar = 172295346.790344m²