Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1299 / 1333
↖ ↑ ↗
← S 47.635784°
E 48.339844°		 ← 13.171 km → S 47.635784°
E 48.515625°		 →
↑
13.156 km
↓
↑
13.156 km
↓
S 47.754098°
E 48.339844°		 ← 13.141 km →
173.079 km²		 S 47.754098°
E 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634521484375 y=0.651123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634521484375 × 211)
    floor (0.634521484375 × 2048)
    floor (1299.5)     		tx = 1299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651123046875 × 211)
    floor (0.651123046875 × 2048)
    floor (1333.5)     		ty = 1333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1299 / 1333 ti = "11/1299/1333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1299/1333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1299 ÷ 211
    1299 ÷ 2048     		x = 0.63427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1333 ÷ 211
    1333 ÷ 2048     		y = 0.65087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63427734375 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84368943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65087890625 × 2 - 1) × π
    -0.3017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.94800012688623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84368943} λ = 0.84368943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.94800012688623))-π/2
    2×atan(0.38751523032902)-π/2
    2×0.369697530692538-π/2
    0.739395061385076-1.57079632675     		φ = -0.83140127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84368943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.339844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83140127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.635784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1299 KachelY 1333 0.84368943 -0.83140127 48.339844 -47.635784
    Oben rechts KachelX + 1 1300 KachelY 1333 0.84675739 -0.83140127 48.515625 -47.635784
    Unten links KachelX 1299 KachelY + 1 1334 0.84368943 -0.83346624 48.339844 -47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 1300 KachelY + 1 1334 0.84675739 -0.83346624 48.515625 -47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83140127--0.83346624) × R
    0.00206497000000005 × 6371000     		dl = 13155.9238700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83140127--0.83346624) × R
    0.00206497000000005 × 6371000     		dr = 13155.9238700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84368943-0.84675739) × cos(-0.83140127) × R
    0.00306796000000009 × 0.673841056738662 × 6371000     		do = 13170.8792091203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84368943-0.84675739) × cos(-0.83346624) × R
    0.00306796000000009 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 13141.0287350984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83140127)-sin(-0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673841056738662-0.672313863706238)×R²
    abs(0.84675739-0.84368943)×0.00152719303242388×R²
    0.00306796000000009×0.00152719303242388×6371000²
    0.00306796000000009×0.00152719303242388×40589641000000     		ar = 173078790.39642m²