Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 12928 / 14975
↖ ↑ ↗
← S 81.515030°
E104.062500°		 ← 360.51 m → S 81.515030°
E104.084473°		 →
↑
360.41 m
↓
↑
360.41 m
↓
S 81.518272°
E104.062500°		 ← 360.37 m →
129 904 m²		 S 81.518272°
E104.084473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789093017578125 y=0.914031982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789093017578125 × 214)
    floor (0.789093017578125 × 16384)
    floor (12928.5)     		tx = 12928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914031982421875 × 214)
    floor (0.914031982421875 × 16384)
    floor (14975.5)     		ty = 14975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12928 / 14975 ti = "14/12928/14975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12928/14975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12928 ÷ 214
    12928 ÷ 16384     		x = 0.7890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14975 ÷ 214
    14975 ÷ 16384     		y = 0.91400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7890625 × 2 - 1) × π
    0.578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81623325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.8280029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60124792098273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81623325} λ = 1.81623325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60124792098273))-π/2
    2×atan(0.0741809484669417)-π/2
    2×0.074045327997207-π/2
    0.148090655994414-1.57079632675     		φ = -1.42270567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81623325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42270567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.515030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12928 KachelY 14975 1.81623325 -1.42270567 104.062500 -81.515030
    Oben rechts KachelX + 1 12929 KachelY 14975 1.81661675 -1.42270567 104.084473 -81.515030
    Unten links KachelX 12928 KachelY + 1 14976 1.81623325 -1.42276224 104.062500 -81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 12929 KachelY + 1 14976 1.81661675 -1.42276224 104.084473 -81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42270567--1.42276224) × R
    5.65699999999225e-05 × 6371000     		dl = 360.407469999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42270567--1.42276224) × R
    5.65699999999225e-05 × 6371000     		dr = 360.407469999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81623325-1.81661675) × cos(-1.42270567) × R
    0.00038349999999987 × 0.147549957886518 × 6371000     		do = 360.505639779914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81623325-1.81661675) × cos(-1.42276224) × R
    0.00038349999999987 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 360.368935770138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42270567)-sin(-1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147549957886518-0.147494006831501)×R²
    abs(1.81661675-1.81623325)×5.5951055017156e-05×R²
    0.00038349999999987×5.5951055017156e-05×6371000²
    0.00038349999999987×5.5951055017156e-05×40589641000000     		ar = 129904.291014321m²