Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1244 / 606
↖ ↑ ↗
← N 58.995311°
E 38.671875°		 ← 10.068 km → N 58.995311°
E 38.847656°		 →
↑
10.082 km
↓
↑
10.082 km
↓
N 58.904646°
E 38.671875°		 ← 10.095 km →
101.637 km²		 N 58.904646°
E 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607666015625 y=0.296142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607666015625 × 211)
    floor (0.607666015625 × 2048)
    floor (1244.5)     		tx = 1244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296142578125 × 211)
    floor (0.296142578125 × 2048)
    floor (606.5)     		ty = 606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1244 / 606 ti = "11/1244/606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1244/606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1244 ÷ 211
    1244 ÷ 2048     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 606 ÷ 211
    606 ÷ 2048     		y = 0.2958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2958984375 × 2 - 1) × π
    0.408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28240793863574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28240793863574))-π/2
    2×atan(3.60531064865906)-π/2
    2×1.3002293751222-π/2
    2.60045875024441-1.57079632675     		φ = 1.02966242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02966242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.995311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1244 KachelY 606 0.67495155 1.02966242 38.671875 58.995311
    Oben rechts KachelX + 1 1245 KachelY 606 0.67801951 1.02966242 38.847656 58.995311
    Unten links KachelX 1244 KachelY + 1 607 0.67495155 1.02808001 38.671875 58.904646
    Unten rechts KachelX + 1 1245 KachelY + 1 607 0.67801951 1.02808001 38.847656 58.904646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02966242-1.02808001) × R
    0.00158240999999992 × 6371000     		dl = 10081.5341099995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02966242-1.02808001) × R
    0.00158240999999992 × 6371000     		dr = 10081.5341099995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.67801951) × cos(1.02966242) × R
    0.00306796000000009 × 0.515108222622785 × 6371000     		do = 10068.2914938806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.67801951) × cos(1.02808001) × R
    0.00306796000000009 × 0.516463900540993 × 6371000     		du = 10094.7895380835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02966242)-sin(1.02808001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515108222622785-0.516463900540993)×R²
    abs(0.67801951-0.67495155)×0.00135567791820812×R²
    0.00306796000000009×0.00135567791820812×6371000²
    0.00306796000000009×0.00135567791820812×40589641000000     		ar = 101637415.801738m²