Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1244 / 600
↖ ↑ ↗
← N 59.534318°
E 38.671875°		 ← 9 910.24 m → N 59.534318°
E 38.847656°		 →
↑
9 923.41 m
↓
↑
9 923.41 m
↓
N 59.445075°
E 38.671875°		 ← 9 936.47 m →
98 473 516 m²		 N 59.445075°
E 38.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607666015625 y=0.293212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607666015625 × 211)
    floor (0.607666015625 × 2048)
    floor (1244.5)     		tx = 1244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293212890625 × 211)
    floor (0.293212890625 × 2048)
    floor (600.5)     		ty = 600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1244 / 600 ti = "11/1244/600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1244/600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1244 ÷ 211
    1244 ÷ 2048     		x = 0.607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 600 ÷ 211
    600 ÷ 2048     		y = 0.29296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.607421875 × 2 - 1) × π
    0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29296875 × 2 - 1) × π
    0.4140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30081570808984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67495155} λ = 0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30081570808984))-π/2
    2×atan(3.67229096366478)-π/2
    2×1.30493309691225-π/2
    2.60986619382449-1.57079632675     		φ = 1.03906987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03906987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.534318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1244 KachelY 600 0.67495155 1.03906987 38.671875 59.534318
    Oben rechts KachelX + 1 1245 KachelY 600 0.67801951 1.03906987 38.847656 59.534318
    Unten links KachelX 1244 KachelY + 1 601 0.67495155 1.03751228 38.671875 59.445075
    Unten rechts KachelX + 1 1245 KachelY + 1 601 0.67801951 1.03751228 38.847656 59.445075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03906987-1.03751228) × R
    0.00155759 × 6371000     		dl = 9923.40588999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03906987-1.03751228) × R
    0.00155759 × 6371000     		dr = 9923.40588999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67495155-0.67801951) × cos(1.03906987) × R
    0.00306796000000009 × 0.507022186184862 × 6371000     		do = 9910.24204269412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67495155-0.67801951) × cos(1.03751228) × R
    0.00306796000000009 × 0.508364108829362 × 6371000     		du = 9936.47122668633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03906987)-sin(1.03751228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507022186184862-0.508364108829362)×R²
    abs(0.67801951-0.67495155)×0.00134192264450073×R²
    0.00306796000000009×0.00134192264450073×6371000²
    0.00306796000000009×0.00134192264450073×40589641000000     		ar = 98473515.5860251m²