Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1243 / 602
↖ ↑ ↗
← N 59.355596°
E 38.496094°		 ← 9 962.75 m → N 59.355596°
E 38.671875°		 →
↑
9 975.90 m
↓
↑
9 975.90 m
↓
N 59.265881°
E 38.496094°		 ← 9 989.06 m →
99 518 681 m²		 N 59.265881°
E 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.607177734375 y=0.294189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.607177734375 × 211)
    floor (0.607177734375 × 2048)
    floor (1243.5)     		tx = 1243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294189453125 × 211)
    floor (0.294189453125 × 2048)
    floor (602.5)     		ty = 602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1243 / 602 ti = "11/1243/602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1243/602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1243 ÷ 211
    1243 ÷ 2048     		x = 0.60693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 602 ÷ 211
    602 ÷ 2048     		y = 0.2939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60693359375 × 2 - 1) × π
    0.2138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.67188359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2939453125 × 2 - 1) × π
    0.412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29467978493848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.67188359} λ = 0.67188359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29467978493848))-π/2
    2×atan(3.64982705740315)-π/2
    2×1.30337345418988-π/2
    2.60674690837976-1.57079632675     		φ = 1.03595058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.67188359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.496094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03595058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.355596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1243 KachelY 602 0.67188359 1.03595058 38.496094 59.355596
    Oben rechts KachelX + 1 1244 KachelY 602 0.67495155 1.03595058 38.671875 59.355596
    Unten links KachelX 1243 KachelY + 1 603 0.67188359 1.03438475 38.496094 59.265881
    Unten rechts KachelX + 1 1244 KachelY + 1 603 0.67495155 1.03438475 38.671875 59.265881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03595058-1.03438475) × R
    0.00156582999999988 × 6371000     		dl = 9975.90292999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03595058-1.03438475) × R
    0.00156582999999988 × 6371000     		dr = 9975.90292999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.67188359-0.67495155) × cos(1.03595058) × R
    0.00306795999999998 × 0.509708334170315 × 6371000     		do = 9962.74541912122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.67188359-0.67495155) × cos(1.03438475) × R
    0.00306795999999998 × 0.511054866318333 × 6371000     		du = 9989.06470034545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03595058)-sin(1.03438475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509708334170315-0.511054866318333)×R²
    abs(0.67495155-0.67188359)×0.00134653214801794×R²
    0.00306795999999998×0.00134653214801794×6371000²
    0.00306795999999998×0.00134653214801794×40589641000000     		ar = 99518680.8483011m²