Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1241 / 598
↖ ↑ ↗
← N 59.712097°
E 38.144531°		 ← 9 857.92 m → N 59.712097°
E 38.320312°		 →
↑
9 870.97 m
↓
↑
9 870.97 m
↓
N 59.623325°
E 38.144531°		 ← 9 884.06 m →
97 436 283 m²		 N 59.623325°
E 38.320312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.606201171875 y=0.292236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.606201171875 × 211)
    floor (0.606201171875 × 2048)
    floor (1241.5)     		tx = 1241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292236328125 × 211)
    floor (0.292236328125 × 2048)
    floor (598.5)     		ty = 598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1241 / 598 ti = "11/1241/598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1241/598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1241 ÷ 211
    1241 ÷ 2048     		x = 0.60595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 598 ÷ 211
    598 ÷ 2048     		y = 0.2919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60595703125 × 2 - 1) × π
    0.2119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.66574766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2919921875 × 2 - 1) × π
    0.416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30695163124121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66574766} λ = 0.66574766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30695163124121))-π/2
    2×atan(3.69489313047317)-π/2
    2×1.30648451286067-π/2
    2.61296902572134-1.57079632675     		φ = 1.04217270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66574766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.144531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04217270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.712097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1241 KachelY 598 0.66574766 1.04217270 38.144531 59.712097
    Oben rechts KachelX + 1 1242 KachelY 598 0.66881562 1.04217270 38.320312 59.712097
    Unten links KachelX 1241 KachelY + 1 599 0.66574766 1.04062334 38.144531 59.623325
    Unten rechts KachelX + 1 1242 KachelY + 1 599 0.66881562 1.04062334 38.320312 59.623325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04217270-1.04062334) × R
    0.00154936000000006 × 6371000     		dl = 9870.97256000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04217270-1.04062334) × R
    0.00154936000000006 × 6371000     		dr = 9870.97256000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66574766-0.66881562) × cos(1.04217270) × R
    0.00306796000000009 × 0.504345318204851 × 6371000     		do = 9857.92005300396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66574766-0.66881562) × cos(1.04062334) × R
    0.00306796000000009 × 0.505682587869946 × 6371000     		du = 9884.05828998561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04217270)-sin(1.04062334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504345318204851-0.505682587869946)×R²
    abs(0.66881562-0.66574766)×0.00133726966509562×R²
    0.00306796000000009×0.00133726966509562×6371000²
    0.00306796000000009×0.00133726966509562×40589641000000     		ar = 97436282.743326m²