Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1240 / 601
↖ ↑ ↗
← N 59.445075°
E 37.968750°		 ← 9 936.47 m → N 59.445075°
E 38.144531°		 →
↑
9 949.59 m
↓
↑
9 949.59 m
↓
N 59.355596°
E 37.968750°		 ← 9 962.75 m →
98 994 551 m²		 N 59.355596°
E 38.144531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.605712890625 y=0.293701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.605712890625 × 211)
    floor (0.605712890625 × 2048)
    floor (1240.5)     		tx = 1240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293701171875 × 211)
    floor (0.293701171875 × 2048)
    floor (601.5)     		ty = 601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1240 / 601 ti = "11/1240/601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1240/601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1240 ÷ 211
    1240 ÷ 2048     		x = 0.60546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 601 ÷ 211
    601 ÷ 2048     		y = 0.29345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60546875 × 2 - 1) × π
    0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29345703125 × 2 - 1) × π
    0.4130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29774774651416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.66267970} λ = 0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29774774651416))-π/2
    2×atan(3.66104178094717)-π/2
    2×1.30415430567485-π/2
    2.60830861134971-1.57079632675     		φ = 1.03751228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03751228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.445075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1240 KachelY 601 0.66267970 1.03751228 37.968750 59.445075
    Oben rechts KachelX + 1 1241 KachelY 601 0.66574766 1.03751228 38.144531 59.445075
    Unten links KachelX 1240 KachelY + 1 602 0.66267970 1.03595058 37.968750 59.355596
    Unten rechts KachelX + 1 1241 KachelY + 1 602 0.66574766 1.03595058 38.144531 59.355596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03751228-1.03595058) × R
    0.00156170000000011 × 6371000     		dl = 9949.5907000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03751228-1.03595058) × R
    0.00156170000000011 × 6371000     		dr = 9949.5907000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.66267970-0.66574766) × cos(1.03751228) × R
    0.00306795999999998 × 0.508364108829362 × 6371000     		do = 9936.47122668597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.66267970-0.66574766) × cos(1.03595058) × R
    0.00306795999999998 × 0.509708334170315 × 6371000     		du = 9962.74541912122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03751228)-sin(1.03595058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508364108829362-0.509708334170315)×R²
    abs(0.66574766-0.66267970)×0.00134422534095247×R²
    0.00306795999999998×0.00134422534095247×6371000²
    0.00306795999999998×0.00134422534095247×40589641000000     		ar = 98994550.558087m²