Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1230 / 590
↖ ↑ ↗
← N 60.413853°
E 36.210937°		 ← 9 650.50 m → N 60.413853°
E 36.386719°		 →
↑
9 663.34 m
↓
↑
9 663.34 m
↓
N 60.326948°
E 36.210937°		 ← 9 676.27 m →
93 380 578 m²		 N 60.326948°
E 36.386719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.600830078125 y=0.288330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.600830078125 × 211)
    floor (0.600830078125 × 2048)
    floor (1230.5)     		tx = 1230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.288330078125 × 211)
    floor (0.288330078125 × 2048)
    floor (590.5)     		ty = 590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1230 / 590 ti = "11/1230/590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1230/590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1230 ÷ 211
    1230 ÷ 2048     		x = 0.6005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 590 ÷ 211
    590 ÷ 2048     		y = 0.2880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6005859375 × 2 - 1) × π
    0.201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.63200008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2880859375 × 2 - 1) × π
    0.423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33149532384668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.63200008} λ = 0.63200008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33149532384668))-π/2
    2×atan(3.78670150121338)-π/2
    2×1.31260848205272-π/2
    2.62521696410543-1.57079632675     		φ = 1.05442064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.63200008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 36.210937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05442064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.413853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1230 KachelY 590 0.63200008 1.05442064 36.210937 60.413853
    Oben rechts KachelX + 1 1231 KachelY 590 0.63506805 1.05442064 36.386719 60.413853
    Unten links KachelX 1230 KachelY + 1 591 0.63200008 1.05290387 36.210937 60.326948
    Unten rechts KachelX + 1 1231 KachelY + 1 591 0.63506805 1.05290387 36.386719 60.326948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05442064-1.05290387) × R
    0.00151677000000006 × 6371000     		dl = 9663.34167000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05442064-1.05290387) × R
    0.00151677000000006 × 6371000     		dr = 9663.34167000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.63200008-0.63506805) × cos(1.05442064) × R
    0.00306797000000003 × 0.493731632799719 × 6371000     		do = 9650.49669858871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.63200008-0.63506805) × cos(1.05290387) × R
    0.00306797000000003 × 0.495050069276937 × 6371000     		du = 9676.26690658317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05442064)-sin(1.05290387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493731632799719-0.495050069276937)×R²
    abs(0.63506805-0.63200008)×0.00131843647721802×R²
    0.00306797000000003×0.00131843647721802×6371000²
    0.00306797000000003×0.00131843647721802×40589641000000     		ar = 93380577.9485937m²