Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1176 / 1147
↖ ↑ ↗
← S 21.125498°
E 26.718750°		 ← 18.232 km → S 21.125498°
E 26.894531°		 →
↑
18.222 km
↓
↑
18.222 km
↓
S 21.289374°
E 26.718750°		 ← 18.212 km →
332.051 km²		 S 21.289374°
E 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.574462890625 y=0.560302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.574462890625 × 211)
    floor (0.574462890625 × 2048)
    floor (1176.5)     		tx = 1176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560302734375 × 211)
    floor (0.560302734375 × 2048)
    floor (1147.5)     		ty = 1147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1176 / 1147 ti = "11/1176/1147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1176/1147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1176 ÷ 211
    1176 ÷ 2048     		x = 0.57421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1147 ÷ 211
    1147 ÷ 2048     		y = 0.56005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57421875 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.377359273809082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46633016} λ = 0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.377359273809082))-π/2
    2×atan(0.685669686478364)-π/2
    2×0.601043418461949-π/2
    1.2020868369239-1.57079632675     		φ = -0.36870949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36870949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.125498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1176 KachelY 1147 0.46633016 -0.36870949 26.718750 -21.125498
    Oben rechts KachelX + 1 1177 KachelY 1147 0.46939812 -0.36870949 26.894531 -21.125498
    Unten links KachelX 1176 KachelY + 1 1148 0.46633016 -0.37156968 26.718750 -21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 1177 KachelY + 1 1148 0.46939812 -0.37156968 26.894531 -21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36870949--0.37156968) × R
    0.00286019000000004 × 6371000     		dl = 18222.2704900003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36870949--0.37156968) × R
    0.00286019000000004 × 6371000     		dr = 18222.2704900003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(-0.36870949) × R
    0.00306795999999998 × 0.932793237451247 × 6371000     		do = 18232.3515830515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46633016-0.46939812) × cos(-0.37156968) × R
    0.00306795999999998 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 18212.128132748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36870949)-sin(-0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.932793237451247-0.931758576749633)×R²
    abs(0.46939812-0.46633016)×0.0010346607016144×R²
    0.00306795999999998×0.0010346607016144×6371000²
    0.00306795999999998×0.0010346607016144×40589641000000     		ar = 332050809.991322m²