Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11325 / 7239
↖ ↑ ↗
← N 20.488773°
E 68.840332°		 ← 2 288.72 m → N 20.488773°
E 68.862305°		 →
↑
2 288.85 m
↓
↑
2 288.85 m
↓
N 20.468189°
E 68.840332°		 ← 2 289.03 m →
5 238 875 m²		 N 20.468189°
E 68.862305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691253662109375 y=0.441864013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691253662109375 × 214)
    floor (0.691253662109375 × 16384)
    floor (11325.5)     		tx = 11325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441864013671875 × 214)
    floor (0.441864013671875 × 16384)
    floor (7239.5)     		ty = 7239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11325 / 7239 ti = "14/11325/7239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11325/7239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11325 ÷ 214
    11325 ÷ 16384     		x = 0.69122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7239 ÷ 214
    7239 ÷ 16384     		y = 0.44183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69122314453125 × 2 - 1) × π
    0.3824462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.20149045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44183349609375 × 2 - 1) × π
    0.1163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.365470922703308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20149045} λ = 1.20149045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.365470922703308))-π/2
    2×atan(1.44119253865526)-π/2
    2×0.96419644016992-π/2
    1.92839288033984-1.57079632675     		φ = 0.35759655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20149045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.840332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35759655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.488773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11325 KachelY 7239 1.20149045 0.35759655 68.840332 20.488773
    Oben rechts KachelX + 1 11326 KachelY 7239 1.20187395 0.35759655 68.862305 20.488773
    Unten links KachelX 11325 KachelY + 1 7240 1.20149045 0.35723729 68.840332 20.468189
    Unten rechts KachelX + 1 11326 KachelY + 1 7240 1.20187395 0.35723729 68.862305 20.468189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35759655-0.35723729) × R
    0.000359260000000028 × 6371000     		dl = 2288.84546000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35759655-0.35723729) × R
    0.000359260000000028 × 6371000     		dr = 2288.84546000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20149045-1.20187395) × cos(0.35759655) × R
    0.00038349999999987 × 0.936740793232409 × 6371000     		do = 2288.71864017691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20149045-1.20187395) × cos(0.35723729) × R
    0.00038349999999987 × 0.936866482341783 × 6371000     		du = 2289.02573367553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35759655)-sin(0.35723729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936740793232409-0.936866482341783)×R²
    abs(1.20187395-1.20149045)×0.000125689109374827×R²
    0.00038349999999987×0.000125689109374827×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125689109374827×40589641000000     		ar = 5238874.769914m²