Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 11321 / 7241
↖ ↑ ↗
← N 20.447603°
E 68.752441°		 ← 2 289.33 m → N 20.447603°
E 68.774414°		 →
↑
2 289.48 m
↓
↑
2 289.48 m
↓
N 20.427013°
E 68.752441°		 ← 2 289.64 m →
5 241 738 m²		 N 20.427013°
E 68.774414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.691009521484375 y=0.441986083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.691009521484375 × 214)
    floor (0.691009521484375 × 16384)
    floor (11321.5)     		tx = 11321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441986083984375 × 214)
    floor (0.441986083984375 × 16384)
    floor (7241.5)     		ty = 7241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 11321 / 7241 ti = "14/11321/7241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/11321/7241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11321 ÷ 214
    11321 ÷ 16384     		x = 0.69097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7241 ÷ 214
    7241 ÷ 16384     		y = 0.44195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69097900390625 × 2 - 1) × π
    0.3819580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.19995647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44195556640625 × 2 - 1) × π
    0.1160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.364703932309387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19995647} λ = 1.19995647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364703932309387))-π/2
    2×atan(1.4400875816222)-π/2
    2×0.963837156380917-π/2
    1.92767431276183-1.57079632675     		φ = 0.35687799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19995647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.752441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35687799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.447603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11321 KachelY 7241 1.19995647 0.35687799 68.752441 20.447603
    Oben rechts KachelX + 1 11322 KachelY 7241 1.20033997 0.35687799 68.774414 20.447603
    Unten links KachelX 11321 KachelY + 1 7242 1.19995647 0.35651863 68.752441 20.427013
    Unten rechts KachelX + 1 11322 KachelY + 1 7242 1.20033997 0.35651863 68.774414 20.427013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35687799-0.35651863) × R
    0.000359359999999975 × 6371000     		dl = 2289.48255999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35687799-0.35651863) × R
    0.000359359999999975 × 6371000     		dr = 2289.48255999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19995647-1.20033997) × cos(0.35687799) × R
    0.00038349999999987 × 0.936992064505939 × 6371000     		do = 2289.3325658772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19995647-1.20033997) × cos(0.35651863) × R
    0.00038349999999987 × 0.937117546648546 × 6371000     		du = 2289.63915369836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35687799)-sin(0.35651863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936992064505939-0.937117546648546)×R²
    abs(1.20033997-1.19995647)×0.000125482142606326×R²
    0.00038349999999987×0.000125482142606326×6371000²
    0.00038349999999987×0.000125482142606326×40589641000000     		ar = 5241738.00375941m²